Il sottospazio generato da S corrisponde all'insieme delle combinazioni lineari di S?
Come da titolo vorrei essere sicuro di questa cosa. Considerato S un generico sistema di vettori/matrici/polinomi $ S=(u_1,u_2,u_3) $, la dimensione del sottospazio di $ R^3 $ generato da $ S $ è $ W=L(u_1,u_2,u_3) $ , giusto?
Quindi se per esempio un esercizio mi dà $ S=(u_1=(0,1,2,1),u_2=(1,1,0,0),u_3=(0,1,0,-1),u_4=(1,1,-1-1)) $ e mi chiede di determinare la dimensione di $ L(S) $ , devo calcolare il rango della matrice dei vettori riga $ u_1,u_2,u_3,u_4 $ .
Se invece con la stessa richiesta ho un sottospazio generato da matrici devo calcolare il rango della matrice formata dalle colonne ottenute tramite isomorfismo (esempio per una colonna):
$ ( ( 1 , -1 ),( 1 , 2) )=( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 2 ) ) $
Per i polinomi si ragiona come per i vettori ovviamente rispetto alla base canonica $ B=(1,x,x^2,x^3...x^n) $ .
Grazie mille a chi risponderà (spero di non esser stato troppo poco rigoroso nella scrittura).
Quindi se per esempio un esercizio mi dà $ S=(u_1=(0,1,2,1),u_2=(1,1,0,0),u_3=(0,1,0,-1),u_4=(1,1,-1-1)) $ e mi chiede di determinare la dimensione di $ L(S) $ , devo calcolare il rango della matrice dei vettori riga $ u_1,u_2,u_3,u_4 $ .
Se invece con la stessa richiesta ho un sottospazio generato da matrici devo calcolare il rango della matrice formata dalle colonne ottenute tramite isomorfismo (esempio per una colonna):
$ ( ( 1 , -1 ),( 1 , 2) )=( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 2 ) ) $
Per i polinomi si ragiona come per i vettori ovviamente rispetto alla base canonica $ B=(1,x,x^2,x^3...x^n) $ .
Grazie mille a chi risponderà (spero di non esser stato troppo poco rigoroso nella scrittura).
Risposte
$L(u_1,u_2,u_3)$ non è la dimensione del sottospazio di $RR^3$, è proprio il sottospazio stesso. La sua dimensione corrisponde al numero di vettori indipendenti tra $u_1,u_2,u_3$, cioè equivalentemente al rango della matrice che ha per righe o per colonne quei vettori.
Se invece hai uno sottospazio generato da matrici, la dimensione anche qui è pari al numero di matrici indipendenti e quindi al rango della matrice ottenuta scrivendo le matrici come vettori riga oppure colonna indifferentemente.
Se invece hai uno sottospazio generato da matrici, la dimensione anche qui è pari al numero di matrici indipendenti e quindi al rango della matrice ottenuta scrivendo le matrici come vettori riga oppure colonna indifferentemente.
"Vulplasir":
$L(u_1,u_2,u_3)$ non è la dimensione del sottospazio di $RR^3$, è proprio il sottospazio stesso. La sua dimensione corrisponde al numero di vettori indipendenti tra $u_1,u_2,u_3$, cioè equivalentemente al rango della matrice che ha per righe o per colonne quei vettori.
Se invece hai uno sottospazio generato da matrici, la dimensione anche qui è pari al numero di matrici indipendenti e quindi al rango della matrice ottenuta scrivendo le matrici come vettori riga oppure colonna indifferentemente.
Scusa, manca una virgola dopo $ S $ al primo rigo del topic (aggiusto). Comunque grazie.
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