Il piano proiettivo (reale e complesso) come CW-complesso

[polinpolinesia]

Sto ripassando omologia in vista di un esame e mi sono resx conto di non avere super chiari alcuni esempi di CW-complessi, di cui riporto innanzitutto la definizione.

Diciamo che \( X \in \mathrm{Top} \) è un CW-complesso se abbiamo $X = \bigcup_{k\geq0} X_k$, tale che:
(1) $X_0$ è uno spazio topologico finito e discreto
(2) ogni $X_k$ è costruito a partire da $X_{k-1}$ "incollandoci" un numero finito di $k$-celle, ovvero attraverso il seguente diagramma di pushout

\begin{tikzcd}
\bigsqcup_{j \in J_k} \partial \bar{\mathrm{B}}^k \ar[r] \ar[d] & X_{k-1} \ar[d] \\
\bigsqcup_{j \in J_k} \bar{\mathrm{B}}^k \ar[r] & X_k
\end{tikzcd}

Ora, ho verificato che $\mathbb{S}^n$ e $\mathbb{T}$ rispettano tale definizione (con qualche difficoltà in più per il toro), ma non sono certx di avere tutto chiaro per quanto riguarda il piano proiettivo.

Ricordando che \( \mathbb{RP}^n = (\mathbb{R}^{n+1})/ (x \sim \lambda x) \) per $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}$, possiamo vedere \( \mathbb{RP}^n = \mathbb{S}^n / (x \sim - x) \) e definire dunque \( q_n \colon \mathbb{S}^n \to \mathbb{RP}^n \).
Ho provato a costruire i pushout per $n=1$ ed $n=2$, ma riesco ad identificare solo, rispettivamente, i poli e l'equatore.

I pushout in questione:

\begin{tikzcd}
x \sqcup y \ar[rr] \ar[d]  && \{\ast\} \ar[d]\\
B^1 \ar[r] & \mathbb{S}^1 \ar[r]& ???
\end{tikzcd}

\begin{tikzcd}
\partial B^2 = \mathbb{S}^1\ar[rr, "q_1"] \ar[d]  && \mathbb{RP}^1 \ar[d]\\
B^2 \ar[r] & \mathbb{S}^2 \ar[r]& ???
\end{tikzcd}

dove $B^1$ viene mappato nel semicerchio superiore di $\mathbb{S}^1$ e $B^2$ nella calotta superiore di $\mathbb{S}^2$.
Magari ho scritto scemenze. La domanda è: qual è l'intuizione che mi manca per vedere $\mathbb{RP}^n$ come un CW-complesso? Quali mappe dovrei definire?

[megas_archon]

La cosa che rende non-immediato questo conto è che devi usare un altro modello per costruire lo spazio proiettivo, cioè il disco di dimensione $n$, modulo antipodia del bordo, dà \(\mathbb{RP}^n\). Così, hai una mappa quoziente \(q_n : D^n\to\mathbb{RP}^n\), che restringe a una mappa \(S^{n-1}\to D^n \to \mathbb{RP}^n\) che "avvolge due volte" la sfera.

[megas_archon]

Qui c'è una rappresentazione in diversi modi per \(\mathbb{RP}^2\) nel modello come disco modulo antipodia. https://www.youtube.com/watch?v=QQML-6hcqGc La descrizione come complesso cellulare è fatta nel teorema 3.24 di Strom, in cui devi porre \(d=1\). (Strom ti costringe a farti fare due o tre esercizi per costuire la cellularizzazione, spero questo non ti destabilizzi)

[Indrjo Dedej]

"megas_archon":La cosa che rende non-immediato questo conto è che devi usare un altro modello per costruire lo spazio proiettivo

Vale a dire: sai che \(S^n \cong D^n/S^{n-1}\)? Se non lo sai costruisciti un quadrato di pushout opportuno.