Il gruppo fondamentale di $\mathbb{P}^2(RR)$
Il mio professore ha fatto una dimostrazione per mostrare che $\pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=ZZ_(/2)$, ma non mi sono chiare delle cose (oltre al fatto che voglio capire se effettivamente ho capito bene la dimostrazione):
Si inizia con l'enunciare il teorema di Van Kampen, ovvero presi due aperti $A,B$ tali che $X=AuuB$ e $A,B,AnnBinx_0$ sono connessi per archi, prendiamo le mappe $\pi_1(AnnB,x_0)->\pi_1(A,x_0)->\pi_1(A,x_0)**\pi_1(B,x_0)$ e $\pi_1(AnnB,x_0)->\pi_1(B,x_0)->\pi_1(A,x_0)**\pi_1(B,x_0)$, denotiamo con $\hat alpha:\pi_1(AnnB,x_0)->\pi_1(B,x_0)**\pi_1(B,x_0)$ che corrisponde alla prima mappa e $\hat beta:\pi_1(AnnB,x_0)->\pi_1(B,x_0)**\pi_1(B,x_0)$ alla seconda mappa (dove $**$ è il prodotto libero). Allora
$\pi_1(X,x_0)~=(\pi_1(A,x_0)**\pi_1(B,x_0))/(text{sottogruppo normale generato da } \hat alpha[gamma]*(\hat beta[gamma])^-1 text{al variare di } [gamma] text{ in un insieme}
text{ di generatori di } \pi_1(AnnB,x_0))$
Usiamo il modello del disco con l'antipodalità sul bordo $q:D^2->D_(/~~)^2~=\mathbb{P}^2(RR)$ e consideriamo i due aperti $A'={x inD^2|||x||>1}=B^2$ (interno del disco) e $B'=D^2\\{0}$. Abbiamo che $A'$ e $B'$ sono aperti saturi rispetto alla relazione $~~$, per cui $A=q(A'),B=q(B')$ sono aperti in $D_(/~~)^2$. Anche $A'nnB'$ è saturo rispetto alla relazione $~~$, per cui $AnnB$ è aperto $D_(/~~)^2$. Inoltre $A',B',A'nnB'$ sono connessi per archi e quindi anche $A,B,AnnB$ lo sono. Sia $x_0$ un punto interno al disco e diverso dal centro del disco (ad esempio $q(1/2,0)$), allora $q_(|_(A')):A'->A$ è un omeomorfismo , per cui $A$ è omeomorfo a $B^2$, quindi è contraibile per cui $\pi_1(A,x_0)~={0}$. Abbiamo che $B'$ è retratto per deformazioni su $S^1$ (ovvero sul bordo del disco), per cui $B$ si ritrae per deformazione su $q(S^1)$, ma abbiamo che $q(S^1)$ è omeomorfo a $S^1$ (infatti $q(S^1)$ sarebbe il quoziente di $S^1$ rispetto la relazione di antipodalità). Prendiamo $x_1$ un punto sul bordo del disco (ad esempio $q(1,0)$) abbiamo che $\pi_1(q(S^1),x_1)~=ZZ$, con generatore $_(q(S^1)):[0,1]->q(S^1)$ definita come $t->q(cos(pit),sen(pit))$ (infatti partendo da $x_1$ genera un laccio di un solo giro rispetto alla relazione di antipodalità e siccome la circonferenza è isomorfa a $ZZ$ ogni laccio è identificato dai giri che fa e quindi sono tutti generati da quello che fa un solo giro, correggetemi se sbaglio). Ora dice che l'inclusione $q(S^1)->B$ è un equivalenza omotopica, ma non ho ben capito perchè (cioè quale sarebbe la funzione $g$ che composta con l'inclusione in entrambi i due modi siano omotope alle identità su $q(S^1)$ e $B$?). Assodato ciò abbiamo quindi che $\pi_1(B,x_1)$ è isomorfo con $\pi_1(q(S^1),x_1)$ e quindi $\pi_1(B,x_1)~=ZZ$ con generatore $_(B)$. Sia ora $delta:[0,1]->B$ definita come $t->[(1-t)x_1+tx_0]$ il cammino da $x_1$ a $x_0$ in $B$ allora la funzione $delta_(♯):\pi_1(B,x_1)->\pi_1(B,x_0)$ definita come $->[ι(delta)**b**delta]$ (dove $ι(delta)$ è il cammino inverso di $delta$ e $**$ l'operazione di giunzione di cammini) è un isomorfismo di gruppi, per cui $\pi_1(B,x_0)~=ZZ$ con generatore $delta_(♯)()=[ι(delta)**b**delta]$ (poichè gli isomorfismi mandano generatori in generatori). Ogni elemento di $\pi_1(B,x_0)$ si scriverà come $(delta_(♯)())^k$, essendo $delta_(♯)()$ generatore. Abbiamo che $AnnB$ si retrae per deformazione sull'immagine tramite $q$ della circonferenza di centro l'origine e raggio la distanza dell'origine da $x_0$. Si ha quindi che $\pi(AnnB,x_0)~=ZZ$ con generatore (supponendo ad esempio che $x_0=q(1/2,0)$) $[gamma]_(AnnB):[0,1]->AnnB$ definito come $t->[$$(1/2cos(2pit),1/2sin(2pit))]$ (infatti partendo da $x_0$ genera un laccio sulla circonferenza di raggio $1/2$ che fa un solo giro e siccome la circonferenza è isomorfa a $ZZ$ ogni laccio è identificato dai giri che fa e quindi sono tutti generati da quello che fa un solo giro, correggetemi se sbaglio). Poi da qui considera le funzioni $alpha_{**}:\pi(AnnB,x_0)->\pi(A,x_0)$ e $beta_{**}:\pi(AnnB,x_0)->\pi(A,x_0)$ "facendo prenderle il posto di" $alpha[gamma]$ e $(beta[gamma])^-1$ e non ho ben capito il motivo. Fatto sta che $alpha_{**}$ è l'omomorfismo nullo, mentre $beta_{**}$ è definita come $beta_{**}=([gamma]_(AnnB))=(delta_(♯)())^k$. Si può notare (anche attraverso un disegno) poi che $gamma$ e $i(delta)**b^2**delta$ sono cammini omotopi e quindi vale $[gamma]_B=[i(delta)]_B_B^2[delta]_B=(delta_(♯)())^2$. Infine si ha quindi che $\pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=(ZZ (text{ generato da } delta_(♯)()))/(text{sottogruppo normale generato da } (delta_(♯)())^2)$ e siccome il sottogruppo normale generato da $(delta_(♯)())^2$ è isomorfo a $2ZZ$ allora $\pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=ZZ_(/2)$.
Se qualcuno riesce a chiarirmi questi dubbi, grazie.
Si inizia con l'enunciare il teorema di Van Kampen, ovvero presi due aperti $A,B$ tali che $X=AuuB$ e $A,B,AnnBinx_0$ sono connessi per archi, prendiamo le mappe $\pi_1(AnnB,x_0)->\pi_1(A,x_0)->\pi_1(A,x_0)**\pi_1(B,x_0)$ e $\pi_1(AnnB,x_0)->\pi_1(B,x_0)->\pi_1(A,x_0)**\pi_1(B,x_0)$, denotiamo con $\hat alpha:\pi_1(AnnB,x_0)->\pi_1(B,x_0)**\pi_1(B,x_0)$ che corrisponde alla prima mappa e $\hat beta:\pi_1(AnnB,x_0)->\pi_1(B,x_0)**\pi_1(B,x_0)$ alla seconda mappa (dove $**$ è il prodotto libero). Allora
$\pi_1(X,x_0)~=(\pi_1(A,x_0)**\pi_1(B,x_0))/(text{sottogruppo normale generato da } \hat alpha[gamma]*(\hat beta[gamma])^-1 text{al variare di } [gamma] text{ in un insieme}
text{ di generatori di } \pi_1(AnnB,x_0))$
Usiamo il modello del disco con l'antipodalità sul bordo $q:D^2->D_(/~~)^2~=\mathbb{P}^2(RR)$ e consideriamo i due aperti $A'={x inD^2|||x||>1}=B^2$ (interno del disco) e $B'=D^2\\{0}$. Abbiamo che $A'$ e $B'$ sono aperti saturi rispetto alla relazione $~~$, per cui $A=q(A'),B=q(B')$ sono aperti in $D_(/~~)^2$. Anche $A'nnB'$ è saturo rispetto alla relazione $~~$, per cui $AnnB$ è aperto $D_(/~~)^2$. Inoltre $A',B',A'nnB'$ sono connessi per archi e quindi anche $A,B,AnnB$ lo sono. Sia $x_0$ un punto interno al disco e diverso dal centro del disco (ad esempio $q(1/2,0)$), allora $q_(|_(A')):A'->A$ è un omeomorfismo , per cui $A$ è omeomorfo a $B^2$, quindi è contraibile per cui $\pi_1(A,x_0)~={0}$. Abbiamo che $B'$ è retratto per deformazioni su $S^1$ (ovvero sul bordo del disco), per cui $B$ si ritrae per deformazione su $q(S^1)$, ma abbiamo che $q(S^1)$ è omeomorfo a $S^1$ (infatti $q(S^1)$ sarebbe il quoziente di $S^1$ rispetto la relazione di antipodalità). Prendiamo $x_1$ un punto sul bordo del disco (ad esempio $q(1,0)$) abbiamo che $\pi_1(q(S^1),x_1)~=ZZ$, con generatore $_(q(S^1)):[0,1]->q(S^1)$ definita come $t->q(cos(pit),sen(pit))$ (infatti partendo da $x_1$ genera un laccio di un solo giro rispetto alla relazione di antipodalità e siccome la circonferenza è isomorfa a $ZZ$ ogni laccio è identificato dai giri che fa e quindi sono tutti generati da quello che fa un solo giro, correggetemi se sbaglio). Ora dice che l'inclusione $q(S^1)->B$ è un equivalenza omotopica, ma non ho ben capito perchè (cioè quale sarebbe la funzione $g$ che composta con l'inclusione in entrambi i due modi siano omotope alle identità su $q(S^1)$ e $B$?). Assodato ciò abbiamo quindi che $\pi_1(B,x_1)$ è isomorfo con $\pi_1(q(S^1),x_1)$ e quindi $\pi_1(B,x_1)~=ZZ$ con generatore $_(B)$. Sia ora $delta:[0,1]->B$ definita come $t->[(1-t)x_1+tx_0]$ il cammino da $x_1$ a $x_0$ in $B$ allora la funzione $delta_(♯):\pi_1(B,x_1)->\pi_1(B,x_0)$ definita come $->[ι(delta)**b**delta]$ (dove $ι(delta)$ è il cammino inverso di $delta$ e $**$ l'operazione di giunzione di cammini) è un isomorfismo di gruppi, per cui $\pi_1(B,x_0)~=ZZ$ con generatore $delta_(♯)()=[ι(delta)**b**delta]$ (poichè gli isomorfismi mandano generatori in generatori). Ogni elemento di $\pi_1(B,x_0)$ si scriverà come $(delta_(♯)())^k$, essendo $delta_(♯)()$ generatore. Abbiamo che $AnnB$ si retrae per deformazione sull'immagine tramite $q$ della circonferenza di centro l'origine e raggio la distanza dell'origine da $x_0$. Si ha quindi che $\pi(AnnB,x_0)~=ZZ$ con generatore (supponendo ad esempio che $x_0=q(1/2,0)$) $[gamma]_(AnnB):[0,1]->AnnB$ definito come $t->[$$(1/2cos(2pit),1/2sin(2pit))]$ (infatti partendo da $x_0$ genera un laccio sulla circonferenza di raggio $1/2$ che fa un solo giro e siccome la circonferenza è isomorfa a $ZZ$ ogni laccio è identificato dai giri che fa e quindi sono tutti generati da quello che fa un solo giro, correggetemi se sbaglio). Poi da qui considera le funzioni $alpha_{**}:\pi(AnnB,x_0)->\pi(A,x_0)$ e $beta_{**}:\pi(AnnB,x_0)->\pi(A,x_0)$ "facendo prenderle il posto di" $alpha[gamma]$ e $(beta[gamma])^-1$ e non ho ben capito il motivo. Fatto sta che $alpha_{**}$ è l'omomorfismo nullo, mentre $beta_{**}$ è definita come $beta_{**}=([gamma]_(AnnB))=(delta_(♯)())^k$. Si può notare (anche attraverso un disegno) poi che $gamma$ e $i(delta)**b^2**delta$ sono cammini omotopi e quindi vale $[gamma]_B=[i(delta)]_B_B^2[delta]_B=(delta_(♯)())^2$. Infine si ha quindi che $\pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=(ZZ (text{ generato da } delta_(♯)()))/(text{sottogruppo normale generato da } (delta_(♯)())^2)$ e siccome il sottogruppo normale generato da $(delta_(♯)())^2$ è isomorfo a $2ZZ$ allora $\pi_1(\mathbb{P}^2(RR))~=ZZ_(/2)$.
Se qualcuno riesce a chiarirmi questi dubbi, grazie.
Risposte
Il fatto che \(\pi_1(\mathbb{RP}^2,x)\cong\mathbb Z/2\) è il motivo per cui puoi fare https://www.youtube.com/watch?v=fTlbVLGBm3Q questo, e il modo di dimostrarlo è usare (più o meno direttamente) il fatto che \(S^2\to \mathbb{RP}^2\) è un rivestimento a due fogli; con VK è spiegato qui https://www.math3ma.com/blog/the-fundam ... tive-plane in maniera relativamente chiara.
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