Il determinante della matrice di cambiamento di base

[dissonance]

Un po' di definizioni di rito prima di venire al sodo:

Sia $V$ uno spazio vettoriale euclideo di dimensione $n$ (*). Definiamo il volume del parallelogramma generato da $n$ vettori come la radice quadrata del determinante di Gram:
$"Vol"(g_1, ..., g_n)=sqrt(det[[g_1*g_1,...,g_1*g_n], [vdots, ddots, vdots], [g_n*g_1, ..., g_n*g_n]])$. [size=75](Si può dimostrare che questa definizione di volume è compatibile con la misura di Lebesgue nel caso in cui $V=RR^n$).[/size] [/list:u:1xc0p0zh]
Ora supponiamo che $G=(g_1, ..., g_n)$ sia una base di $V$ e che $E=(e_1,...,e_n)$ sia una base di $V$ ortonormale e orientata positivamente. Chiamo $M=M_{E, G}("Id")$ la matrice del cambiamento di coordinate dalla base $G$ alla base $E$ (vedi Sergio per le definizioni). (**)
E' abbastanza facile dimostrare che $det M=+-"Vol"(g_1, ..., g_n)$, dove il segno è uguale all'orientazione di $G$.

Finalmente posso arrivare alla domanda: e se prendessimo, invece di $E$ base ortonormale, $H$ base qualunque, che interpretazione geometrica potremmo dare del determinante $detM_{H, G}$ della matrice di cambiamento di coordinate?


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(*) Intendo uno spazio vettoriale reale in cui è definito un prodotto scalare $*$ ed è fissata una orientazione.
(**) Nel caso in cui $V=RR^n$ e $E$ sia la base canonica, $M$ è la matrice avente sulle colonne le componenti dei vettori $g_1, ..., g_n$. Vedi ancora qui, ultima osservazione del post.

[dissonance]

Una possibilità: il determinante della matrice di cambiamento di coordinate è uguale al rapporto tra i volumi dei parallelepipedi generati dai vettori delle due basi, con segno negativo se le basi sono orientate discordemente.

E' abbastanza facile dimostrarlo: se le due basi sono $G=(g_1, ..., g_n), H=(h_1,...,h_n)$, introdotta una base ortonormale $E=(e_1,...,e_n)$ risulta che $M_{H, G}("Id")=M_{H, E}("Id")M_{E, G}("Id")$. (*)

Calcolando il determinante e ricordandone l'interpretazione geometrica otteniamo:

$detM_{H, G}("Id")=detM_{H, E}("Id")detM_{E, G}("Id")=\frac{detM_{E, G}("Id")}{detM_{E, H}("Id")}=+-\frac{"Vol"(g_1, ..., g_n)}{"Vol"(h_1, ...,h_n)}$.

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(*)Notazione presa in prestito dal Sernesi 1. $M_{H, G}("Id")$ è la matrice di cambiamento di coordinate dalla base $G$ alla base $H$. Uso le identità:
$M_{G, H}("Id")=[M_{H, G}("Id")]^(-1)$;
$M_{G, H}("Id")=M_{G, E}("Id")M_{E, H}("Id")$.
delle quali, se necessario, posso postare la dimostrazione.

[Sidereus1]

"dissonance":Un po' di definizioni di rito prima di venire al sodo:

Sia $V$ uno spazio vettoriale euclideo di dimensione $n$ (*). Definiamo il volume del parallelogramma generato da $n$ vettori come la radice quadrata del determinante di Gram:
$"Vol"(g_1, ..., g_n)=sqrt(det[[g_1*g_1,...,g_1*g_n], [vdots, ddots, vdots], [g_n*g_1, ..., g_n*g_n]])$. [size=75](Si può dimostrare che questa definizione di volume è compatibile con la misura di Lebesgue nel caso in cui $V=RR^n$).[/size] [/list:u:ge0duorz]
Ora supponiamo che $G=(g_1, ..., g_n)$ sia una base di $V$ e che $E=(e_1,...,e_n)$ sia una base di $V$ ortonormale e orientata positivamente. Chiamo $M=M_{E, G}("Id")$ la matrice del cambiamento di coordinate dalla base $G$ alla base $E$ (vedi Sergio per le definizioni). (**)
E' abbastanza facile dimostrare che $det M=+-"Vol"(g_1, ..., g_n)$, dove il segno è uguale all'orientazione di $G$.

Finalmente posso arrivare alla domanda: e se prendessimo, invece di $E$ base ortonormale, $H$ base qualunque, che interpretazione geometrica potremmo dare del determinante $detM_{H, G}$ della matrice di cambiamento di coordinate?

Siano $G=(\vecg_1, ..., \vecg_n)$ e $H=(\vech_1, ..., \vech_n)$ le due basi di V.

Se $M=(M_(ij))$ è la matrice di transizione tra le basi, possiamo porre $vech_j=M_(jk)\vecg_k$, con $j,k=1,2,..,n$

Allora $ \vech_(i)*\vech_(j)= (M_(ik)\vecg_k)*( M_(js)\vecg_s)= M_(ik)M_(js)(\vecg_k*\vecg_s)$, dove è sottintesa la somma da $1$ a $n$ nei termini con gli indici ripetuti.

Quindi $det(\vech_(i)*\vech_(j))=(det(M))^(2)det(\vecg_k*\vecg_s)$.

Prendendo le radici quadrate del primo e secondo membro segue immediatamente che

$"Vol"(\vech_1, ..., \vech_n)=+-det(M) "Vol"(\vecg_1, ..., \vecg_n)$ e pertanto

$det(M)$ esprime il volume del parallelogramma generato da $H$ rispetto al volume del parallelogramma generato da $G$ preso come unità di misura (a meno del segno dato dall’orientamento).