Il criterio di Cauchy negli spazi topologici

[dissonance]

Prendiamo una funzione $f:S-{s_0}\toT$ dove $S$ è uno spazio topologico e $T$ uno spazio metrico completo, $s_0$ sia un punto di accumulazione per $S$. Supponiamo che $f$ verifichi la condizione di Cauchy nel senso che:
$\forallepsilon\existsU\ "intorno di"\ s_0\ "t.c."\ \foralls, s'\inU, "d"(f(s), f(x)) Possiamo dire che allora esiste $lim_{s\tos_0}f(s)$? Devo necessariamente supporre la 1-numerabilità di $S$?

[holmes1]

Guarda non sono per nulla sicuro , controlla se la topologia cofinita su R ammette una qualche base di intorni numerabile per qualche punto, mi pare di no, comunque controlla!
F: (R,Top cofinita)-> R a topologia euclidea.
F=costante

[dissonance]

Sulla base numerabile di intorni mi pare plausibile che $RR$ con la topologia cofinita non ce l'abbia (in questo momento però non mi va di controllare ). Purtroppo non capisco cosa vuoi dirmi con quella $F$ costante.

[holmes1]

verifica la condizione posta e F(Sn) converge quale che sia il limite di Sn
per ogni epsilon esiste un intorno di So che è R stesso t c se s,s'appartengono a tale intorno d(F(s),F(s')) =0 < epsilon,
la condizione di limite vale, ma no serve l'assioma di numerabilità.