Il campo K
Ciao a tutti,
potreste darmi la definizione esatta, spiegata per cortesia in maniera da scuola elementare, del campo K? Cosa è? Cosa rappresenta? In che modo viene usato. Ve ne sarò grato a vita!!!!
Richard
potreste darmi la definizione esatta, spiegata per cortesia in maniera da scuola elementare, del campo K? Cosa è? Cosa rappresenta? In che modo viene usato. Ve ne sarò grato a vita!!!!
Richard
Risposte
Ok. 
La definizione rigorosa la metto dopo, paradossalmente non è così importante.
Un campo (che può anche non chiamarsi $K$) è una struttura algebrica che generalizzi in qualche modo le proprietà di $QQ$, l'insieme dei numeri razionali. $QQ$ ha due operazioni (somma e prodotto) e i due relativi elementi neutri (zero e uno), tali operazioni sono associative e commutative, vale la proprietà distributiva, ogni elemento ammette un opposto ed ogni elemento non nullo ammette un inverso. Tutte queste proprietà fanno di $QQ$ un "campo".
Per esempio $ZZ$ (l'insieme dei numeri interi) non ammette tutte le proprietà di $QQ$ che ho elencato sopra perché per esempio $2$ (come ogni intero maggiore di $1$) non ammette un inverso. Il suo inverso sarebbe $1/2$, ma $1/2$ non appartiene a $ZZ$.
Definizione rigorosa.
Un campo è una terna $(K,+,*)$ dove:
- $K$ è un insieme non vuoto;
- $+,*$ sono due funzioni $K xx K to K$;
tale che
1) $(K,+)$ sia un gruppo commutativo, cioè l'operazione $+$ sia associativa, esista un elemento neutro $0$ (zero: la proprietà caratterizzante è che $0+a=a+0=a$ per ogni $a in K$), esista il simmetrico di ogni elemento (per ogni $a in K$ esiste $b in K$ denotato $-a$ tale che $a+b=0$), e $+$ sia commutativa, ovvero $a+b=b+a$ per ogni $a,b in K$.
2) $(K,*)$ sia un monoide commutativo, cioè l'operazione $*$ sia associativa, esista un elemento neutro $1$ (uno: la proprietà caratterizzante è che $1*a=a*1=a$ per ogni $a in K$), e $*$ sia commutativa, ovvero $a*b=b*a$ per ogni $a,b in K$.
3) $(K-{0},*)$ sia un gruppo commutativo, ovvero (ricordando il punto precedente: $K-{0}$ è già un monoide con $*$) ogni $a in K$ diverso da $0$ ammetta un inverso, cioè un $b in K$ diverso da $0$ tale che $ab=ba=1$.
4) (leggi distributive) Si abbia $(a+b)*c = a*c+b*c$ e $a*(b+c)=a*b+a*c$ per ogni $a,b,c in K$.
Come ho detto prima $QQ$ è un campo, e lo sono anche $RR$ (l'insieme dei numeri reali) e $CC$ (l'insieme dei numeri complessi). Invece $NN$ e $ZZ$ non sono campi. $QQ$, $RR$ e $CC$ sono campi infiniti, ma esistono anche campi finiti. Un esempio di campo finito è l'insieme ${0,1}$ con le operazioni somma e prodotto definite come segue: $0*0=1*0=0*1=0$, $1*1=1$; $0+0=1+1=0$, $0+1=1+0=1$. Se conosci un po' l'algebra, questo campo è il quoziente $ZZ//2ZZ$. E' (a meno di isomorfismi) l'unico campo con due elementi.
La definizione rigorosa la metto dopo, paradossalmente non è così importante.
Un campo (che può anche non chiamarsi $K$) è una struttura algebrica che generalizzi in qualche modo le proprietà di $QQ$, l'insieme dei numeri razionali. $QQ$ ha due operazioni (somma e prodotto) e i due relativi elementi neutri (zero e uno), tali operazioni sono associative e commutative, vale la proprietà distributiva, ogni elemento ammette un opposto ed ogni elemento non nullo ammette un inverso. Tutte queste proprietà fanno di $QQ$ un "campo".
Per esempio $ZZ$ (l'insieme dei numeri interi) non ammette tutte le proprietà di $QQ$ che ho elencato sopra perché per esempio $2$ (come ogni intero maggiore di $1$) non ammette un inverso. Il suo inverso sarebbe $1/2$, ma $1/2$ non appartiene a $ZZ$.
Definizione rigorosa.
Un campo è una terna $(K,+,*)$ dove:
- $K$ è un insieme non vuoto;
- $+,*$ sono due funzioni $K xx K to K$;
tale che
1) $(K,+)$ sia un gruppo commutativo, cioè l'operazione $+$ sia associativa, esista un elemento neutro $0$ (zero: la proprietà caratterizzante è che $0+a=a+0=a$ per ogni $a in K$), esista il simmetrico di ogni elemento (per ogni $a in K$ esiste $b in K$ denotato $-a$ tale che $a+b=0$), e $+$ sia commutativa, ovvero $a+b=b+a$ per ogni $a,b in K$.
2) $(K,*)$ sia un monoide commutativo, cioè l'operazione $*$ sia associativa, esista un elemento neutro $1$ (uno: la proprietà caratterizzante è che $1*a=a*1=a$ per ogni $a in K$), e $*$ sia commutativa, ovvero $a*b=b*a$ per ogni $a,b in K$.
3) $(K-{0},*)$ sia un gruppo commutativo, ovvero (ricordando il punto precedente: $K-{0}$ è già un monoide con $*$) ogni $a in K$ diverso da $0$ ammetta un inverso, cioè un $b in K$ diverso da $0$ tale che $ab=ba=1$.
4) (leggi distributive) Si abbia $(a+b)*c = a*c+b*c$ e $a*(b+c)=a*b+a*c$ per ogni $a,b,c in K$.
Come ho detto prima $QQ$ è un campo, e lo sono anche $RR$ (l'insieme dei numeri reali) e $CC$ (l'insieme dei numeri complessi). Invece $NN$ e $ZZ$ non sono campi. $QQ$, $RR$ e $CC$ sono campi infiniti, ma esistono anche campi finiti. Un esempio di campo finito è l'insieme ${0,1}$ con le operazioni somma e prodotto definite come segue: $0*0=1*0=0*1=0$, $1*1=1$; $0+0=1+1=0$, $0+1=1+0=1$. Se conosci un po' l'algebra, questo campo è il quoziente $ZZ//2ZZ$. E' (a meno di isomorfismi) l'unico campo con due elementi.
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