Il bordo $C^1$ di un aperto può non essere loc. orientabile?
Ciao a tutti. Studiando mi è venuto un dubbio:
se localmente $\partial\Omega={(x_1,...,x_n)\in R^n|x_n=\phi(x_1,...,x_(n-1))}$ (dove $\phi$ è una funzione di classe $C^1$ da $R^(n-1)$ ad $R$),
allora è vero che localmente vicino ad ogni punto del bordo $\Omega={(x_1,...,x_n)\in R^n|x_n>\phi(x_1,...,x_(n-1))}$ oppure $\Omega={(x_1,...,x_n)\in R^n|x_n<\phi(x_1,...,x_(n-1))}$ ?
Almeno intuitivamente, questo mi sembra equivalente ad chidere:
se ho un aperto $\Omega$ di $R^n$, il cui bordo $\partial\Omega$ è una ipersuperficie $C^1$ (i.e. una sottovarietà differenziabile di dimensione $n-1$)
posso affermare che $\partial\Omega$ è orientabile localmente?
La risposta che mi verrebbe da dare è sì. Però non riesco a scrivere una dimostrazione. Mi potete aiutare?
se localmente $\partial\Omega={(x_1,...,x_n)\in R^n|x_n=\phi(x_1,...,x_(n-1))}$ (dove $\phi$ è una funzione di classe $C^1$ da $R^(n-1)$ ad $R$),
allora è vero che localmente vicino ad ogni punto del bordo $\Omega={(x_1,...,x_n)\in R^n|x_n>\phi(x_1,...,x_(n-1))}$ oppure $\Omega={(x_1,...,x_n)\in R^n|x_n<\phi(x_1,...,x_(n-1))}$ ?
Almeno intuitivamente, questo mi sembra equivalente ad chidere:
se ho un aperto $\Omega$ di $R^n$, il cui bordo $\partial\Omega$ è una ipersuperficie $C^1$ (i.e. una sottovarietà differenziabile di dimensione $n-1$)
posso affermare che $\partial\Omega$ è orientabile localmente?
La risposta che mi verrebbe da dare è sì. Però non riesco a scrivere una dimostrazione. Mi potete aiutare?
Risposte
Orientabile "localmente"? Mi pare una contraddizione in termini: l'orientabilità è una proprietà globale. Sbaglio?
Ma in effetti stanno venendo dei dubbi anche a me. Credo che la questione sia molto più semplice dei termini in cui l'ho posta.
Devo solo dimostrare quanto ho scritto nelle prime 3 righe. Poiché ogni ipersuperficie ammette localmente un campo continuo di versori normali (i.e. è loc. orientabile), intuitivamente direi proprio che quello che voglio dimostrare è vero.
Tuttavia mi sto perdendo nel cercare di farlo vedere.
Devo solo dimostrare quanto ho scritto nelle prime 3 righe. Poiché ogni ipersuperficie ammette localmente un campo continuo di versori normali (i.e. è loc. orientabile), intuitivamente direi proprio che quello che voglio dimostrare è vero.
Tuttavia mi sto perdendo nel cercare di farlo vedere.
Ho risolto. Quanto volevo dimostrare è in realtà falso: basta considerare come $\Omega$ in $R^2$ un cerchio privato della circonferenza e di un segmento interno.
In questo caso $\partial\Omega$ è una 1-varietà, poichè è l'unione disgiunta di una circonferenza e di un segmento, ma non si può dire che $\Omega$ localmente stia da una sola parte del proprio bordo.
In questo caso $\partial\Omega$ è una 1-varietà, poichè è l'unione disgiunta di una circonferenza e di un segmento, ma non si può dire che $\Omega$ localmente stia da una sola parte del proprio bordo.
Ora però mi sorge un'altra domanda: se il bordo di un aperto è una sottovarietà di $R^n$ di dimensione $n-1$, esso è sempre orientabile?
Ciao.. non vorrei intervenire a sproposito ma non ho ben capito il controesempio.
Cioè l'interpretazione di orientabilità come "stare dalla stessa parte del bordo (riferita ai vettori normali)" mi sembra un po' ambigua.
Nel tuo esempio il bordo è sconnesso, per cui non capisco bene che vuoi dire con "stare dalla stessa parte del bordo" cioè il concetto di "stessa parte" non mi sembra a priori definito in modo naturale qui.
Localmente questo bordo è certamente orientabile.. ora è un po' che non lavoro con queste cose ma magari qualcuno ci sa dare delucidazioni su come ci si comporta con bordi sconnessi. Una idea è che l'orientabilità vada definita (come proprietà globale) su ciascuna componente connessa, l'altra è che si possano fare incollamenti strani e considerare una mappa continua che passa da una componente connessa del bordo all'altra.
Non so se mi sono spiegata
EDIT: direi che la orientabilità va definita su ciascuna componente connessa.. il problema dell'orientabilità è che le mappe devono essere "coerenti" sulle intersezioni tra gli aperti dell'atlante, per cui dove non c'è intersezione il problema non si pone.
Segue che la curva data dal tuo esempio è (globalmente) orientabile.
Direi che non sarebbe orientabile se prendessi l'unione della circonferenza e di un raggio, e il problema sta nel fatto che non è $C^1$
Cioè l'interpretazione di orientabilità come "stare dalla stessa parte del bordo (riferita ai vettori normali)" mi sembra un po' ambigua.
Nel tuo esempio il bordo è sconnesso, per cui non capisco bene che vuoi dire con "stare dalla stessa parte del bordo" cioè il concetto di "stessa parte" non mi sembra a priori definito in modo naturale qui.
Localmente questo bordo è certamente orientabile.. ora è un po' che non lavoro con queste cose ma magari qualcuno ci sa dare delucidazioni su come ci si comporta con bordi sconnessi. Una idea è che l'orientabilità vada definita (come proprietà globale) su ciascuna componente connessa, l'altra è che si possano fare incollamenti strani e considerare una mappa continua che passa da una componente connessa del bordo all'altra.
Non so se mi sono spiegata
EDIT: direi che la orientabilità va definita su ciascuna componente connessa.. il problema dell'orientabilità è che le mappe devono essere "coerenti" sulle intersezioni tra gli aperti dell'atlante, per cui dove non c'è intersezione il problema non si pone.
Segue che la curva data dal tuo esempio è (globalmente) orientabile.
Direi che non sarebbe orientabile se prendessi l'unione della circonferenza e di un raggio, e il problema sta nel fatto che non è $C^1$
Ora però mi sorge un'altra domanda: se il bordo di un aperto è una sottovarietà di $R^n$ di dimensione $n-1$, esso è sempre orientabile?
secondo me ti stai chiedendo se la frontiera regolare di un aperto $G$ in $R^n$, (che è una varietà differenziale di dimensione $n-1$ in $R^n$) è sempre orientabile. Se non sbaglio dovrebbe essere sempre vero. Questo perchè come campo delle normali basta prendere il gradiente del vincolo locale della funzione $g$ (vincolo locale della frontiera regolare) fratto il suo modulo, ossia:
$ (nabla g)/|nabla g| $ = campo normale di versori (esterno) per $ "freg"(G) $
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