I gradini del Sernesi
Ecco cio' che penso:
- per la parte delle cose non entusiasmanti: puoi supporre $a_{mm} ne 0$ per ogni m se ogni variabile compare in almeno un'equazione, in quanto se per caso $a_{mm}=0$ puoi sommare alla riga m una riga tale che l'm-esimo coefficiente sia non nullo, ottenendo un sistema equivalente con $a_{mm} ne 0$. Se invece c'è una variabile - diciamo $x_m$ - che non compare, puoi eliminare la rispettiva colonna e ricordarti che il sottospazio generato da $e_m$ è fatto di soluzioni (dell'omogenea).
- per la parte che dici di non capire: i termini costanti sono semplicemente $c_i:=S_i(0,...,0)$ (cioè, sono i 'termini noti' dei 'polinomi' $S_i$). La n-pla ${c}$ è soluzione perché proviene da una scelta dei parametri $t_i$ (la scelta "tutti nulli"). Per mostrare che ${S}-{c}$ è soluzione del sistema omogeneo, basta osservare che $A {S} = A {c} = {b}$ (dove A è la matrice dei coefficienti dell'omogenea), e quindi $A ({S}-{c})={b}-{b} = 0$.
- per la parte delle cose non entusiasmanti: puoi supporre $a_{mm} ne 0$ per ogni m se ogni variabile compare in almeno un'equazione, in quanto se per caso $a_{mm}=0$ puoi sommare alla riga m una riga tale che l'm-esimo coefficiente sia non nullo, ottenendo un sistema equivalente con $a_{mm} ne 0$. Se invece c'è una variabile - diciamo $x_m$ - che non compare, puoi eliminare la rispettiva colonna e ricordarti che il sottospazio generato da $e_m$ è fatto di soluzioni (dell'omogenea).
- per la parte che dici di non capire: i termini costanti sono semplicemente $c_i:=S_i(0,...,0)$ (cioè, sono i 'termini noti' dei 'polinomi' $S_i$). La n-pla ${c}$ è soluzione perché proviene da una scelta dei parametri $t_i$ (la scelta "tutti nulli"). Per mostrare che ${S}-{c}$ è soluzione del sistema omogeneo, basta osservare che $A {S} = A {c} = {b}$ (dove A è la matrice dei coefficienti dell'omogenea), e quindi $A ({S}-{c})={b}-{b} = 0$.
Risposte
Eh 
Ho riletto la prima parte del mio intervento e mi sono accorto di un errore: non è detto che la somma tra righe mantenga la struttura a scalini.
Comunque così d'istinto non credo che supporre i $a_{mm}$ non nulli sia un grave ostacolo... bisognerebbe provare a studiare un esempio per capire.
Ho riletto la prima parte del mio intervento e mi sono accorto di un errore: non è detto che la somma tra righe mantenga la struttura a scalini.
Comunque così d'istinto non credo che supporre i $a_{mm}$ non nulli sia un grave ostacolo... bisognerebbe provare a studiare un esempio per capire.
Questa cosa che ho detto:
va rivista. Conta che io non l'abbia detta (non ha un gran senso).
Restando sul terreno "conosciuto" e andando sul sicuro, ti direi che un sistema a scalini come quello del Sernesi (con $prod a_i ne 0$) ammette almeno una soluzione (è questo che vuoi dire con "compatibile" vero?). Ora non tutti i sistemi sono a scalini "alla Sernesi"
e nemmeno sono riconducibili a tali sistemi, dato che banalmente esistono sistemi incompatibili.
Devo dire che a questo punto mi sembra strano che il Sernesi affermi che si puo' ricondurre ogni sistema ad uno equivalente a scalini.
Secondo me ti conviene confrontare cio' che dice il Sernesi con qualche altro testo. Per esempio vai qui, clicca sul link "Matematica 2 (A e B)" a sinistra e poi su "AGLQ78pp". Guarda pagina 83 e seguenti. Vedrai che la definizione di matrice a scalini / sistema a gradini è diversa da quella del Sernesi.
"Martino":
per la parte delle cose non entusiasmanti: puoi supporre $a_{mm} ne 0$ per ogni m se ogni variabile compare in almeno un'equazione, in quanto se per caso $a_{mm}=0$ puoi sommare alla riga m una riga tale che l'm-esimo coefficiente sia non nullo, ottenendo un sistema equivalente con $a_{mm} ne 0$. Se invece c'è una variabile - diciamo $x_m$ - che non compare, puoi eliminare la rispettiva colonna e ricordarti che il sottospazio generato da $e_m$ è fatto di soluzioni (dell'omogenea).
va rivista. Conta che io non l'abbia detta (non ha un gran senso).
Restando sul terreno "conosciuto" e andando sul sicuro, ti direi che un sistema a scalini come quello del Sernesi (con $prod a_i ne 0$) ammette almeno una soluzione (è questo che vuoi dire con "compatibile" vero?). Ora non tutti i sistemi sono a scalini "alla Sernesi"
e nemmeno sono riconducibili a tali sistemi, dato che banalmente esistono sistemi incompatibili.Devo dire che a questo punto mi sembra strano che il Sernesi affermi che si puo' ricondurre ogni sistema ad uno equivalente a scalini.
Secondo me ti conviene confrontare cio' che dice il Sernesi con qualche altro testo. Per esempio vai qui, clicca sul link "Matematica 2 (A e B)" a sinistra e poi su "AGLQ78pp". Guarda pagina 83 e seguenti. Vedrai che la definizione di matrice a scalini / sistema a gradini è diversa da quella del Sernesi.
Prego
Anche a me piace molto quel pdf, è molto ricco.
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