Help... superfici...
chiedo un consiglio in merito allo svolgimento del seguente esercizio:
calcolare l'area della porzione di superficie
$\{(x=uv),(y=u+v),(z=u-v):}$
in cui k è la parte di cerchio unitario contenuta nel primo quadrante...
potreste aiutarmi nella impostazione?
Grazie.
PS
non so dove sbaglio ma mi rimane abbastanza difficile, sulla scorta del K assegnato, trovare gli estremi dell'integrale in $u,v$
calcolare l'area della porzione di superficie
$\{(x=uv),(y=u+v),(z=u-v):}$
in cui k è la parte di cerchio unitario contenuta nel primo quadrante...
potreste aiutarmi nella impostazione?
Grazie.
PS
non so dove sbaglio ma mi rimane abbastanza difficile, sulla scorta del K assegnato, trovare gli estremi dell'integrale in $u,v$
Risposte
Scusa ma cos'è $K$?
Per caso è il dominio della parametrizzazione?
Per caso è il dominio della parametrizzazione?
"Gugo82":
Scusa ma cos'è $K$?
Per caso è il dominio della parametrizzazione?
scusami, si, è il dominio di parametrizzazione... avevo omesso
La porzione di cerchio unitario inclusa nel primo quadrante può essere definita nel seguente modo:
$K = \{(u,v) | 0 <= u <= 1, 0 <= v <= \sqrt{1 - u^2}\}$
E' infatti la soluzione del seguente sistema:
$\{(u >= 0),(v >= 0),(u^2 + v^2 <= 1):}$
$K = \{(u,v) | 0 <= u <= 1, 0 <= v <= \sqrt{1 - u^2}\}$
E' infatti la soluzione del seguente sistema:
$\{(u >= 0),(v >= 0),(u^2 + v^2 <= 1):}$
"apatriarca":
La porzione di cerchio unitario inclusa nel primo quadrante può essere definita nel seguente modo:
$K = \{(u,v) | 0 <= u <= 1, 0 <= v <= \sqrt{1 - u^2}\}$
E' infatti la soluzione del seguente sistema:
$\{(u >= 0),(v >= 0),(u^2 + v^2 <= 1):}$
Grazie...
Comincia ad impostare l'integrale superficiale con la solita tecnica: trova innanzitutto il vettore normale alla superficie indotto dalla parametrizzazione, che è:
$N(u,v)=((\partial x)/(\partial u),(\partial y)/(\partial u),(\partial z)/(\partial u))\times ((\partial x)/(\partial v),(\partial y)/(\partial v),(\partial z)/(\partial v))$
($\times$ è l'usuale prodotto vettoriale di $RR^3$); poi scrivi la formuletta:
(*) $\quad "area"(S)=\int \int_K ||N(u,v)||" d"u" d"v$
dove $||N(u,v)||$ è il modulo del vettore normale $N(u,v)$; ora hai un integrale in $u,v$ esteso ad un dominio $K$ che puoi rappresentare in coordinate polari (ad esempio): quindi fai nell'integrale (*) la sostituzione:
$\{(u=r cos theta),(v=r sin theta):}$ con $r\in [0,1]$ e $theta in [0,pi/2]$
(e non ti dimenticare dello jacobiano della trasformazione di coordinate!) e svolgi l'integrale come sei abituato.
$N(u,v)=((\partial x)/(\partial u),(\partial y)/(\partial u),(\partial z)/(\partial u))\times ((\partial x)/(\partial v),(\partial y)/(\partial v),(\partial z)/(\partial v))$
($\times$ è l'usuale prodotto vettoriale di $RR^3$); poi scrivi la formuletta:
(*) $\quad "area"(S)=\int \int_K ||N(u,v)||" d"u" d"v$
dove $||N(u,v)||$ è il modulo del vettore normale $N(u,v)$; ora hai un integrale in $u,v$ esteso ad un dominio $K$ che puoi rappresentare in coordinate polari (ad esempio): quindi fai nell'integrale (*) la sostituzione:
$\{(u=r cos theta),(v=r sin theta):}$ con $r\in [0,1]$ e $theta in [0,pi/2]$
(e non ti dimenticare dello jacobiano della trasformazione di coordinate!) e svolgi l'integrale come sei abituato.
"Gugo82":
Comincia ad impostare l'integrale superficiale con la solita tecnica: trova innanzitutto il vettore normale alla superficie indotto dalla parametrizzazione, che è:
$N(u,v)=((\partial x)/(\partial u),(\partial y)/(\partial u),(\partial z)/(\partial u))\times ((\partial x)/(\partial v),(\partial y)/(\partial v),(\partial z)/(\partial v))$
($\times$ è l'usuale prodotto vettoriale di $RR^3$); poi scrivi la formuletta:
(*) $\quad "area"(S)=\int \int_K ||N(u,v)||" d"u" d"v$
dove $||N(u,v)||$ è il modulo del vettore normale $N(u,v)$; ora hai un integrale in $u,v$ esteso ad un dominio $K$ che puoi rappresentare in coordinate polari (ad esempio): quindi fai nell'integrale (*) la sostituzione:
$\{(u=r cos theta),(v=r sin theta):}$ con $r\in [0,1]$ e $theta in [0,pi/2]$
(e non ti dimenticare dello jacobiano della trasformazione di coordinate!) e svolgi l'integrale come sei abituato.
ECCO COSA!!!!!!!!!!!!!!! MALEDETTO JACOBIANO... 
Grazie...
Ricorda che $||N(u,v)||$ può anche essere calcolato a partire dai coefficienti della prima forma quadratica fondamentale:
$||N(u,v)|| = \sqrt{EG - F^2}$
dove
$r_u = ((delx)/(delu),(dely)/(delu),(delz)/(delu))$
$r_v = ((delx)/(delv),(dely)/(delv),(delz)/(delv))$
$E = r_u*r_u$
$F = r_u*r_v$
$G = r_v*r_v$
($*$ è il prodotto scalare)
$||N(u,v)|| = \sqrt{EG - F^2}$
dove
$r_u = ((delx)/(delu),(dely)/(delu),(delz)/(delu))$
$r_v = ((delx)/(delv),(dely)/(delv),(delz)/(delv))$
$E = r_u*r_u$
$F = r_u*r_v$
$G = r_v*r_v$
($*$ è il prodotto scalare)
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