Help!!! sottospazi
Salve a tutti. Ho un serio problema con un esercizio che devo assolutamente imparare a svolgere per il mio prossimo esame:
Fissata la matrice A $((0,1),(-1,1))$ nello spazio vettoriale R^2,2
provare che $ V ={X in RR : AX=XA}$ è un sottospazio
scrivere le equazioni nella base naturale, determinandone dimensione ed una base
determinare un supplementare W di V in R^2,2
esprimere B= $((1,1),(1,1))$ come somma di due matrici V e W
Vi prego aiutatemi ho l'esame tra pochissimi giorni. Grazie anticipatamente
Fissata la matrice A $((0,1),(-1,1))$ nello spazio vettoriale R^2,2
provare che $ V ={X in RR : AX=XA}$ è un sottospazio
scrivere le equazioni nella base naturale, determinandone dimensione ed una base
determinare un supplementare W di V in R^2,2
esprimere B= $((1,1),(1,1))$ come somma di due matrici V e W
Vi prego aiutatemi ho l'esame tra pochissimi giorni. Grazie anticipatamente
Risposte
vabbè io la posto poi quando avrai tempo mi risponderai:
siano r e s due rette con le rispettive equazioni $\{(x = t),(y = 1 - t),(z = 2t):}$ e ${(x + y + z = 1),(-x + y + z = 0):}$
determinare se sono incidenti parallele o sghembe
determinare la distanza tra r e s
determinare il simmetrico del punto Q(1,0,1) rispetto alla retta s
secondo i miei calcoli le rette risultano sghembe perchè non sono nè incidenti nè parallele...ma adesso come si calcola la distanza tra due rette sghembe?
siano r e s due rette con le rispettive equazioni $\{(x = t),(y = 1 - t),(z = 2t):}$ e ${(x + y + z = 1),(-x + y + z = 0):}$
determinare se sono incidenti parallele o sghembe
determinare la distanza tra r e s
determinare il simmetrico del punto Q(1,0,1) rispetto alla retta s
secondo i miei calcoli le rette risultano sghembe perchè non sono nè incidenti nè parallele...ma adesso come si calcola la distanza tra due rette sghembe?
"prime_number":
Sì esatto.. .dovrai magari applicare alcune proprietà delle matrici per arrivare a dire che $X+Y$ sta nel sottospazio. Ad esempio, dovrai usare il fatto che $(X+Y)^T = X^T + Y^T$.
Paola
Ecco era questo il mio dubbio...devo applicare le proprietà delle matrici..quindi sbaglio se scrivo cosi : $(x+y)^T A = (XA)^T + (YA)^T = XA + YA = A(X+Y)$
@Ismene: ricorda la regola: $(AB)^T = (B^T)(A^T)$, vedo dai tuoi passaggi che non la ricordi. Nel tuo caso però non serve:
$(X+Y) A = X A + YA = $(ipotesi)$=(XA)^T + (YA)^T=(XA+YA)^T=((X+Y)A)^T$
@peppeam In effetti è una situazione un po' difficile da visualizzare geometricamente
. Quello che farei io è la seguente cosa: prendi il fascio di piani generato da $r$ e in esso seleziona l'unico piano $\alpha$ parallelo ad $s$. A questo punto il problema si riduce a trovare la distanza tra $\alpha$ e $s$. Fammi sapere se hai difficoltà!
Paola
$(X+Y) A = X A + YA = $(ipotesi)$=(XA)^T + (YA)^T=(XA+YA)^T=((X+Y)A)^T$
@peppeam In effetti è una situazione un po' difficile da visualizzare geometricamente
. Quello che farei io è la seguente cosa: prendi il fascio di piani generato da $r$ e in esso seleziona l'unico piano $\alpha$ parallelo ad $s$. A questo punto il problema si riduce a trovare la distanza tra $\alpha$ e $s$. Fammi sapere se hai difficoltà!Paola
Paola buongiorno,
ho calcolato le equazioni cartesiane di r : ${(x + y - 1= 0),(2x - z = 0):}$
in realtà ho subito trovato problemi nel ricavarmi il piano selezionato dal fascio di r e parallelo a s perchè non riesco a trovare un punto di s poichè le due equazioni non sono soddisfatte mai con gli stessi valori...come devo fare?
Ti chiedo il punto di s visto che devo sostituiro a x , y , z nella formula: $\lambda\(x + y - 1)$ + $\mu\(2x - z)$ = 0
Giusto il ragionamento o sbaglio qualcosa?
ho calcolato le equazioni cartesiane di r : ${(x + y - 1= 0),(2x - z = 0):}$
in realtà ho subito trovato problemi nel ricavarmi il piano selezionato dal fascio di r e parallelo a s perchè non riesco a trovare un punto di s poichè le due equazioni non sono soddisfatte mai con gli stessi valori...come devo fare?
Ti chiedo il punto di s visto che devo sostituiro a x , y , z nella formula: $\lambda\(x + y - 1)$ + $\mu\(2x - z)$ = 0
Giusto il ragionamento o sbaglio qualcosa?
Essendo le rette sghembe per forza non trovi un piano ad esse comune 
. Per imporre il parallelismo con $s$ dovrai mettere una condizione con il vettore direzione di $s$ 
.
Paola
. Per imporre il parallelismo con $s$ dovrai mettere una condizione con il vettore direzione di $s$ .Paola
ma la formula per il fascio di piani per r è fatta bene?
se affermativo, una volta trovato il piano come lo impongo parallelo a s?
So dalla teoria che la giacitura di s deve essere contenuta in quella del piano e la differenza tra due punti qualsiasi (uno del piano e uno della retta) non deve appartenere alla giacitura del piano. Condizioni analitiche: costruisco un sistema con le due equazioni ordinarie di s e l'equazione di $\alpha\$ e il rango della matrice incompleta deve essere diverso da quello della matrice completa, giusto?
se affermativo, una volta trovato il piano come lo impongo parallelo a s?
So dalla teoria che la giacitura di s deve essere contenuta in quella del piano e la differenza tra due punti qualsiasi (uno del piano e uno della retta) non deve appartenere alla giacitura del piano. Condizioni analitiche: costruisco un sistema con le due equazioni ordinarie di s e l'equazione di $\alpha\$ e il rango della matrice incompleta deve essere diverso da quello della matrice completa, giusto?
Io userei la formula $(x+y-1)+\mu(2x-z)=0$ per il fascio. Sono equivalenti con la differenza che nella mia devi ricordarti che "ti perdi" il piano $2x-z=0$ che nella tua trovavi con $\lambda=0$, uno deve solo tenere a mente questa "soluzione persa" diciamo... il guadagno è avere solo un parametro invece di due.
Risistemiamo l'equazione del fascio per ottenere $x(1+2\mu) +y-\mu z=1$ e mettiamola in forma parametrica con parametri $t_1,t_2$:
$\{(x=t_1),(y=1+\mu t_2 -(1+2\mu)t_1),(z=t_2):}$
dunque la giacitura del piano generico del fascio è generata da $((1),(-1-2\mu),(0)), ((0),(\mu),(1))$. Trovare il piano parallelo a $s$ significa, se ci pensi, trovare $\mu$ tale per cui il vettore direzione di $s$ ($((0),(1),(-1))$) è generato dai due vettori soprastanti. Equivalentemente si deve avere che
$det ((1,0,0),(-1-2\mu,\mu,1),(0,1,-1)) =0$
Trovato questo valore di $\mu$ lo sostituisci nell'equazione del fascio e trovi appunto il piano che cerchi. Dopo sai proseguire, credo...
Paola
P.S. La condizione che volevi porre tu con le equazioni avrebbe determinato un sistema impossibile (ricorda che il sistema ha soluzione SE E SOLO SE matrice completa e incompleta hanno lo stesso rango).
Risistemiamo l'equazione del fascio per ottenere $x(1+2\mu) +y-\mu z=1$ e mettiamola in forma parametrica con parametri $t_1,t_2$:
$\{(x=t_1),(y=1+\mu t_2 -(1+2\mu)t_1),(z=t_2):}$
dunque la giacitura del piano generico del fascio è generata da $((1),(-1-2\mu),(0)), ((0),(\mu),(1))$. Trovare il piano parallelo a $s$ significa, se ci pensi, trovare $\mu$ tale per cui il vettore direzione di $s$ ($((0),(1),(-1))$) è generato dai due vettori soprastanti. Equivalentemente si deve avere che
$det ((1,0,0),(-1-2\mu,\mu,1),(0,1,-1)) =0$
Trovato questo valore di $\mu$ lo sostituisci nell'equazione del fascio e trovi appunto il piano che cerchi. Dopo sai proseguire, credo...
Paola
P.S. La condizione che volevi porre tu con le equazioni avrebbe determinato un sistema impossibile (ricorda che il sistema ha soluzione SE E SOLO SE matrice completa e incompleta hanno lo stesso rango).
perfetto...solo un dubbio: il vettore direzione di s non è (0,-2,2) ? l'ho calcolato con il prodotto vettoriale
cmq svolgendo così come hai impostato mi trovo il valore del parametro = 0, e tale valore soddisfa la condizione, infatti il determinante della matrice è uguale a zero e il rango sarà compreso tra 1 e 2. Sostituisco 0 nell'equazione del fascio e avrò:
x + y = 1
cmq svolgendo così come hai impostato mi trovo il valore del parametro = 0, e tale valore soddisfa la condizione, infatti il determinante della matrice è uguale a zero e il rango sarà compreso tra 1 e 2. Sostituisco 0 nell'equazione del fascio e avrò:
x + y = 1
E' lo stesso vettore mio moltiplicato per $-2$, patacchèn!
Che tu usi uno o l'altro non influenza quel determinante!
Paola
Che tu usi uno o l'altro non influenza quel determinante!
Paola
cmq svolgendo così come hai impostato mi trovo il valore del parametro = 0, e tale valore soddisfa la condizione, infatti il determinante della matrice è uguale a zero e il rango sarà compreso tra 1 e 2. Sostituisco 0 nell'equazione del fascio e avrò:
x + y = 1
adesso la distanza tra r e s sarà la distanza tra P punto di r e il piano calcolato o tra T punto di s e il piano calcolato?
poi ultimo problema: per trovare il simmetrico di Q rispetto a s devo calcolare una retta perpendicolare a s passante per Q, calcolarmi la proiezione ortogonale di Q su s e poi calcolarmi il simmetrico giusto?
x + y = 1
adesso la distanza tra r e s sarà la distanza tra P punto di r e il piano calcolato o tra T punto di s e il piano calcolato?
poi ultimo problema: per trovare il simmetrico di Q rispetto a s devo calcolare una retta perpendicolare a s passante per Q, calcolarmi la proiezione ortogonale di Q su s e poi calcolarmi il simmetrico giusto?
Considera che quel piano fa parte del fascio passante per $r$... se provi a calcolare la distanza tra esso e $r$ ti accorgi subito dell'errore perché viene $0$ . Devi calcolare la distanza tra un punto qualunque di $s$ e il piano trovato e l'esercizio è finito.
Per la seconda domanda: trova il piano $\alpha$ perpendicolare a $s$ e passante per $Q$.
(ricorda l'utile regola: il piano $ax+by+cz+d=0$ ha come vettore normale $(a,b,c)$. Sapendo questa e il vettore direzione di $s$, trovare $\alpha$ è immediato!)
Fatto questo interseca $s$ e $\alpha$ trovando così il punto $P$. Il simmetrico di $Q$ sarà un punto $Q'$ appartenente ad $\alpha$ e tale che $PQ=PQ'$. Imponi queste condizioni.
Paola
. Devi calcolare la distanza tra un punto qualunque di $s$ e il piano trovato e l'esercizio è finito.Per la seconda domanda: trova il piano $\alpha$ perpendicolare a $s$ e passante per $Q$.
(ricorda l'utile regola: il piano $ax+by+cz+d=0$ ha come vettore normale $(a,b,c)$. Sapendo questa e il vettore direzione di $s$, trovare $\alpha$ è immediato!)
Fatto questo interseca $s$ e $\alpha$ trovando così il punto $P$. Il simmetrico di $Q$ sarà un punto $Q'$ appartenente ad $\alpha$ e tale che $PQ=PQ'$. Imponi queste condizioni.
Paola
Sei stata di fondamentale aiuto...grazie mille. Ti farò sapere come è andato l'esame. Ciao
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