Help!!! sottospazi
Salve a tutti. Ho un serio problema con un esercizio che devo assolutamente imparare a svolgere per il mio prossimo esame:
Fissata la matrice A $((0,1),(-1,1))$ nello spazio vettoriale R^2,2
provare che $ V ={X in RR : AX=XA}$ è un sottospazio
scrivere le equazioni nella base naturale, determinandone dimensione ed una base
determinare un supplementare W di V in R^2,2
esprimere B= $((1,1),(1,1))$ come somma di due matrici V e W
Vi prego aiutatemi ho l'esame tra pochissimi giorni. Grazie anticipatamente
Fissata la matrice A $((0,1),(-1,1))$ nello spazio vettoriale R^2,2
provare che $ V ={X in RR : AX=XA}$ è un sottospazio
scrivere le equazioni nella base naturale, determinandone dimensione ed una base
determinare un supplementare W di V in R^2,2
esprimere B= $((1,1),(1,1))$ come somma di due matrici V e W
Vi prego aiutatemi ho l'esame tra pochissimi giorni. Grazie anticipatamente
Risposte
Ciao e benvenuto.
Non riesco a visualizzare le tue formule, credo sia dovuto al fatto che hai messo un (inutile) backslash davanti ai simboli di dollaro
... puoi levarli? Detto questo... quali sono le tue difficoltà esattamente? Facci vedere i tuoi tentativi e dove ti blocchi.
Paola
Non riesco a visualizzare le tue formule, credo sia dovuto al fatto che hai messo un (inutile) backslash davanti ai simboli di dollaro
... puoi levarli? Detto questo... quali sono le tue difficoltà esattamente? Facci vedere i tuoi tentativi e dove ti blocchi.Paola
ecco ho modificato...praticamente non so proprio da dove iniziare. E' il primo punto che mi blocca e di conseguenza nn so fare il resto. Comunque ti ringrazio della tua prontezza
Devi semplicemente verificare le tre proprietà della definizione di sottospazio vettoriale:
1. $0\in V$
2. dati $C,B\in V$, $C+B\in V$
3. dato $C\in V$ e $\lambda$ numero reale, $\lambda C\in V$.
Prendiamo come esempio il punto 2): per ipotesi hai che le matrici $C,B$ hanno la proprietà di commutare con la matrice fissata $A$, ovvero in formule: $CA=AC, BA=AB$. Per dimostrare che $C+B$ sta in $V$ dobbiamo mostrare che $(C+B)A=A(C+B)$, ma questo è vero per le proprietà del prodotto tra matrici e per le ipotesi:
$(C+B)A=$(prop. distributiva)$=CA+BA=$(applico l'ipotesi!)$=AC+AB=$(proprietà distributiva di nuovo)$=A(B+C)$ ecco fatto.
Prova tu con le altre due proprietà da verificare.
Paola
1. $0\in V$
2. dati $C,B\in V$, $C+B\in V$
3. dato $C\in V$ e $\lambda$ numero reale, $\lambda C\in V$.
Prendiamo come esempio il punto 2): per ipotesi hai che le matrici $C,B$ hanno la proprietà di commutare con la matrice fissata $A$, ovvero in formule: $CA=AC, BA=AB$. Per dimostrare che $C+B$ sta in $V$ dobbiamo mostrare che $(C+B)A=A(C+B)$, ma questo è vero per le proprietà del prodotto tra matrici e per le ipotesi:
$(C+B)A=$(prop. distributiva)$=CA+BA=$(applico l'ipotesi!)$=AC+AB=$(proprietà distributiva di nuovo)$=A(B+C)$ ecco fatto.
Prova tu con le altre due proprietà da verificare.
Paola
si ma il mio problema era lo svolgimento numerico...io avevo pensato di moltiplicare i termini della matrice A con i termini della matrice generica X (x1,x2,x3,x4) e uguagliare il prodotto di essi al prodotto di XA. Poi mettere tutto a sistema per ricavarmi le componenti di V (poichè sono quelle che mi servono per andare avanti). E' sbagliato?
Sono due passaggi diversi. Nessuno ti impedisce di trovare prima le equazioni di $V$ e poi verificare le proprietà, però la verifica della definizione ci deve essere comunque (e secondo me è più veloce il mio modo, ma de gustibus).
Quello che descrivi va bene, in questo modo trovi i vettori generatori di $V$.
PAola
Quello che descrivi va bene, in questo modo trovi i vettori generatori di $V$.
PAola
neanche nel mio metodo mi trovo...numericamente non ho proprio capito come svolgere l'esercizio; mi viene un sistema stranissimo dove i primi membri sono uguali ai secondi.
Come devo procedere numericamente?
ps vorrei seguire il tuo metodo però non ho capito se e dove mettere i numeri della matrice A
Come devo procedere numericamente?
ps vorrei seguire il tuo metodo però non ho capito se e dove mettere i numeri della matrice A
Scusa se disturbo ancora...ho visto un post molto simile al mio di qualche giorno fa e ho appreso tutto il procedimento ke hai spiegato al ragazzo che ti aveva posto il problema. Solo una cosa non ho capito: come faccio ad imporre AX=XA ? mi viene tutto uguale a zero...come devo fare sto andando nel pallone! ti prego aiutami spiegandomi le cose in modo molto semplice perchè ho paura di perdermi nuovamente. Grazie della disponibilità
Il mio metodo per la verifica funziona anche se non sai chi sia $A$ come hai potuto vedere dalla parte che ho svolto io.
Per quanto riguarda la parte che hai impostato, ti dovresti ritrovare, dopo alcune manipolazioni, con il seguente sistema:
$\{(x_2+x_3 =0),(x_1+x_2-x_4=0):}$
(ho eliminato le equazioni ridondanti e usato la matrice generica $X=((x_1,x_2),(x_3,x_4))$)
Analizzando il sistema vediamo che ci tocca scegliere due parametri liberi, ad esempio $x_2,x_4$ e otteniamo:
$\{(x_3 =-\lambda),(x_1=\mu-\lambda),(x_2=\lambda),(x_4=\mu):}$
quindi $V$ sarà generato dai vettori ottenuti dai coefficienti dei parametri liberi: $((-1,1),(-1,0)),((1,0),(0,1))$
Paola
come hai potuto vedere dalla parte che ho svolto io.Per quanto riguarda la parte che hai impostato, ti dovresti ritrovare, dopo alcune manipolazioni, con il seguente sistema:
$\{(x_2+x_3 =0),(x_1+x_2-x_4=0):}$
(ho eliminato le equazioni ridondanti e usato la matrice generica $X=((x_1,x_2),(x_3,x_4))$)
Analizzando il sistema vediamo che ci tocca scegliere due parametri liberi, ad esempio $x_2,x_4$ e otteniamo:
$\{(x_3 =-\lambda),(x_1=\mu-\lambda),(x_2=\lambda),(x_4=\mu):}$
quindi $V$ sarà generato dai vettori ottenuti dai coefficienti dei parametri liberi: $((-1,1),(-1,0)),((1,0),(0,1))$
Paola
non riesco proprio a capire da dove sia uscito il tuo sistema...e di conseguenza come hai determinato i vettori di V...
Ho semplicemente preso la matrice generica $X$ scritta sopra e imposto $AX=XA$ facendo i conti. Prova... ovviamente ti verranno 4 equazioni (sono matrici da 4 elementi, quindi 4 condizioni!) ma vedrai che 2 sono ridondanti.
Paola
Paola
Salve, non so se vado fuori regolamento,scrivendo qui una risposta...ma ho lo stesso problema di peppeam...con la differenza che nel sottospazio da generare ho XA simmetrica e non AX=XA...sono nel pallone!!!
In altre parole hai $(XA)^T = XA$, questa è l'uguaglianza che devi utilizzare. Hai provato a seguire il mio suggerimento dei post precedenti e applicare la definizione di sottospazio? La questione è esattamente analoga. Prova a ricalcare la parte che ho già dimostrato io... e dimmi se hai difficoltà.
Paola
Paola
per quanto riguarda l'uguaglianza AX=XA devo moltiplicare la i numeri della matrice A (0,1,-1,1) per le componenti della matrice generica X giusto? Sarà che sbaglio ancora qualcosa ma le equazioni a sistema come le tue non le riesco a ricavare.
per intenderci, devo moltiplicare a11 per x1, a12 per x2, a21 per x3 e a22 per x4?
$((0,1),(-1,1))$ per $((x1,x2),(x3,x4))$ = $((x1,x2),(x3,x4))$ per $((0,1),(-1,1))$ giusto?
per intenderci, devo moltiplicare a11 per x1, a12 per x2, a21 per x3 e a22 per x4?
$((0,1),(-1,1))$ per $((x1,x2),(x3,x4))$ = $((x1,x2),(x3,x4))$ per $((0,1),(-1,1))$ giusto?
SANTO DIO COSA LEGGO. Prodotto riga per colonna! Cos'è quella roba elemento per elemento?? Qui parliamo della base del prodotto tra matrici!!!! Vatti a rivedere la teoria subitissimo.
Paola
Paola
ti ho fatta arrabbiare cavolo...vado a rivedere e poi ti faccio sapere
Ho perso un battito, questo è sicuro. Bravo, vai a ripassare! Si chiama "prodotto riga per colonna" o "prodotto tra matrici".
Paola
Paola
"prime_number":
In altre parole hai $(XA)^T = XA$, questa è l'uguaglianza che devi utilizzare. Hai provato a seguire il mio suggerimento dei post precedenti e applicare la definizione di sottospazio? La questione è esattamente analoga. Prova a ricalcare la parte che ho già dimostrato io... e dimmi se hai difficoltà.
Paola
Ok, credo di aver capito guardando i post precedenti
Scelte due matrici qualunque esempio X e Y risulterebbe $(XA)^T = XA$ , $(YA)^T = YA$ e calcolare la somma e il prodotto come hai fatto precedentemente...giusto?
Sì esatto.. .dovrai magari applicare alcune proprietà delle matrici per arrivare a dire che $X+Y$ sta nel sottospazio. Ad esempio, dovrai usare il fatto che $(X+Y)^T = X^T + Y^T$.
Paola
Paola
mi è venuto finalmente il sistemaaaa. grazie di cuore. avevo una lacuna bella grande anche perchè il corso non l'ho seguito dalle prime lezioni...grazie ancora!
ps. ci sarebbe qualche altra cosina che vorrei rivedere insieme...la riservo per un altro giorno o la posto adesso?
ps. ci sarebbe qualche altra cosina che vorrei rivedere insieme...la riservo per un altro giorno o la posto adesso?
Posta se vuoi... ma adesso io vado al cinema quindi potrei metterci un po' a rispondere eheh ...
Paola
...Paola
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