Hausdorff localmente compatto

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4 apr 2006, 19:35

Ecco quà un altro esercizio carino... anche se l'altro era più bello!

...

Posto qualche es propedeutico che se qualcuno vuole può dimostrare... (li posto perchè potrebbero essere utili nella dimostrazione!!)

- esercizi propedeutici:

1) In uno spazio di Haudorff, dato un punto $x$ esterno ad un compatto, esiste un intorno di quel punto che non interseca il compatto;

2) In uno spazio di Hausdorff l'intersezione arbitraria di compatti è compatta;

- Es vero: Se $X$ è localmente compatto e di Hausdorff $=>$ per ogni punto di $X$ esiste un sistema fondamentale di intorni compatto.

ciao!

Risposte

Sk_Anonymous

4 apr 2006, 17:59

"Thomas":
1) In uno spazio di Haudorff, dato un punto $x$ esterno ad un compatto, esiste un intorno di quel punto che non interseca il compatto

Siano $(X, \tau)$ uno spazio topologico di Hausdorff ed $Y \subseteq X$ un compatto della topologia. Se $x \in X\setminus Y$, per ogni $y \in Y$, esistono $U_y, V_y \in \tau$ tali che $x \in U_y$, $y \in V_y$ ed $U_y \cap V_y = \emptyset$, poiché uno spazio di Hausdorff separa i punti dai punti. I.e. restano determinate due famiglie $\{U_y\}_{y \in Y}$ e $\{V_y\}_{y \in Y}$ di aperti t.c., per ogni $y \in Y$: $U_y \cap V_y = \emptyset$. Senonché $\{V_y\}_{y \in Y}$ è un ricoprimento tramite aperti di $Y$ ed $Y$ è compatto. Pertanto esistono $V_{y_1}, ..., V_{y_n} \in \{V_y\}_{y \in Y}$ tali che $V := \cup_{i=1}^n V_{y_i} \supseteq Y$. Posto allora $U := \cap_{i=1}^n U_{y_i}$, si ha che $U$ e $V$ sono intorni aperti di $x$ ed $Y$, rispettivamente, ed $U \cap V = \emptyset$. Da qui la tesi - anzi qualcosina di più!

Sk_Anonymous

6 apr 2006, 16:51

"Thomas":

2) In uno spazio di Hausdorff l'intersezione arbitraria di compatti è compatta;

Siano $(S, \tau)$ uno spazio topologico di Hausdorff, $\{X_j\}_{j \in J}$ una collezione arbitraria di compatti dello spazio ed $\{U_k\}_{k \in K}$ un rivestimento di $X := \cap_{j \in J} X_j$ mediante aperti della topologia. Nelle ipotesi assunte, $X$ è chiuso, dacché intersezione di chiusi. Fissato $j \in J$, avviene perciò che $\{S\setminus X\} \cup \{U_k\}_{k \in K}$ è una copertura di $X_j$ tramite aperti topologici. Senonché $X_j$ è compatto, e dunque debbono esistere $k_1, ..., k_n \in K$ tali che la collezione $\{S\setminus X\}\cup\{U_{k_i}\}_{i=1}^n$ sia ancora coprente per l'insieme. Eppure $X \subseteq X_j$, e perciò $x \in X_j \cap X$ solo se $x \in U_{k_i}$, per qualche $i = 1, ..., n$. Di conseguenza $\{U_{k_i}\}_{i=1}^n$ è un rivestimento finito di $X$ estratto dalla famiglia $\{U_j\}_{j \in J}$, e.g. $X$ è compatto, q.e.d.

Sk_Anonymous

7 apr 2006, 07:56

"Thomas":
Se $X$ è localmente compatto e di Hausdorff $=>$ per ogni punto di $X$ esiste un sistema fondamentale di intorni compatto.

Chiarire, please! Che significa che "ogni punto $x \in X$ possiede un sistema fondamentale di intorni"?

Thomas16

10 apr 2006, 09:11

Scusa per il ritardo ma sono stato un pò occupato con viaggi et similia...

Def: un sistema fondamentale di intorni di un punto $x$ in un spazio topologico $X$ è una famiglia $F$ di intorni del punto $x$ t.c. preso un qualsiasi altro intorno $U$ sempre del punto $x$, esiste un intorno della famiglia contenuto in $U$.

ps: ora non ho tempo di guardare le tue dimostrazioni, ma lo farò appena ho un pò di tempo... è un diritto/dovere di colui che propone, no?

... ciao...

Sk_Anonymous

14 apr 2006, 18:55

Lemma (3): se $(X, \tau)$ è uno spazio topologico di Hausdorff compatto, $x \in X$ ed $U$ è un intorno di $x$, allora esiste un ulteriore intorno $V$ di $x$ tale che $cl(V) \subseteq U$, dove $V$ denota la chiusura topologica di $V$.

Dim.: wlog, sia $U\in \tau$. Allora $X\setminus U$ è chiuso, perciò compatto, e ovviamente $x$ non appartiene ad $X\setminus U$. Senonché ogni spazio di Hausdorff compatto è uno spazio di Vietoris (anzi di Tietze). Pertanto esistono $V, W \in \tau$ disgiunti tali che $x \in V$ ed $(X\setminus U) \subseteq W$. Dunque $cl(V) \cap (X\setminus U) = \emptyset$, e perciò $x \in V \subseteq cl(V) \subseteq U$. Da qui la tesi.

"Thomas":
Se $(X, \tau)$ è localmente compatto e di Hausdorff $=>$ per ogni punto di $X$ esiste un sistema fondamentale di intorni compatto.

Fissato $x \in X$, è sufficiente mostrare che, per ogni $U\in \tau$ tale che $x \in U$, esiste un intorno $V$ di $x$ tale che $cl(V) \subseteq U$, dove $cl(V)$ denota la chiusura topologica di $V$ in $X$. Del resto, poiché $X$ è localmente compatto, esiste un intorno compatto $C$ di $x$ in $(X, \tau)$. Senonché $C \cap U$ è aperto nella topologia dei sottospazi $\tau_C$ indotta su $C$ da $X$, e $(C, \tau_C)$ è uno spazio di Hausdorff compatto. Perciò esiste $V \in \tau_C$ t.c. $x \in V$ e $cl(V) \subseteq C \cap U$, per via del lemma (3). Senonché $V$ è anche aperto in $(X, \tau)$, siccome $C$ è chiuso. Dunque $cl(V)$ è un intorno compatto di $x$ in $(X, \tau)$ contenuto in $U$. Da qui la tesi.