Hamilton Cayley

[thedarkhero]

Le radici del polinomio caratteristico annullano il polinomio minimo.

Ma il polinomio caratteristico in generale è di grado maggiore o uguale a quella del polinomio minimo?
Quindi il polinomio caratteristico ha in generale più radici del polinomio minimo, giusto?

[dissonance]

Le radici sono sempre le stesse, tuttalpiù cambia la molteplicità.

[thedarkhero]

Se ad esempio il polinomio caratteristico è $(x-2)^2(x-3)$ come ricaverei il polinomio minimo?

[dissonance]

Non hai abbastanza informazioni per ricavare il polinomio minimo. Ci sono matrici aventi lo stesso polinomio caratteristico e diverso polinomio minimo. (EDIT: almeno, mi pare. Sono cose che non vedo da parecchio, non le ricordo più tanto bene. Controlla su http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ910pp.pdf ).

[Studente Anonimo]

"dissonance":Ci sono matrici aventi lo stesso polinomio caratteristico e diverso polinomio minimo.

Se questo non fosse vero allora tutte le matrici sarebbero diagonalizzabili. Quindi direi che è vero

[thedarkhero]

Consideriamo la matrice $((2,0,0),(1,2,1),(1,0,3))$.
Il suo polinomio caratteristico è $(2-x)^2(3-x)$ ma come ricavo il polinomio minimo?

[Studente Anonimo]

"thedarkhero":Consideriamo la matrice $((2,0,0),(1,2,1),(1,0,3))$.
Il suo polinomio caratteristico è $(2-x)^2(3-x)$ ma come ricavo il polinomio minimo?

Ricorda che se la matrice è diagonalizzabile allora ogni autovalore è radice semplice del polinomio minimo.

[thedarkhero]

D'accordo, era solo un esempio. Intendevo dire, in generale, come stabilisco il polinomio minimo a partire da una matrice?

[Studente Anonimo]

"thedarkhero":come stabilisco il polinomio minimo a partire da una matrice?

Usi il seguente fatto:

Fatto. Sia [tex]\varphi[/tex] un endomorfismo dello spazio vettoriale V sul campo C e sia [tex]\lambda[/tex] un autovalore di [tex]\varphi[/tex] di molteplicità [tex]m[/tex]. Allora [tex]\lambda[/tex] è radice del polinomio minimo di [tex]\varphi[/tex] con molteplicità uguale al minimo intero positivo [tex]k[/tex] tale che [tex]\dim(\ker((\varphi-\lambda \mbox{id})^k))=m[/tex].

[NightKnight1]

"dissonance":Le radici sono sempre le stesse, tuttalpiù cambia la molteplicità.

Vale di più: il polinomio caratteristico e il polinomio minimo hanno gli stessi fattori irriducibili (per parlare in modo aulico: il radicale dell'ideale generato dal polinomio caratteristico e il radicale dell'ideale generato dal polinomio minimo coincidono)

Un modo pratico, che può essere applicato anche nel caso di matrici non triangolarizzabili (che invece non è contemplato dal post di Martino), per calcolare il polinomio minimo è il seguente:
Sia $A in M_n (RR)$. Sia $I$ la matrice identica.
Le matrici $I,A$ sono linearmente dipendenti? Se sì, ho trovato il polinomio minimo.
Se no, considero le matrici $I,A,A^2$. Esse sono linearmente dipendenti? Se sì, ho trovato il polinomio minimo.
Se no, considero le matrici $I,A,A^2,A^3$. E continuo...

Questo algoritmo deve necessariamente terminare perché lo spazio $M_n (RR)$ ha dimensione $n^2$ e quindi non può esistere un insieme infinito linearmente indipendente.
Questo dà anche una stima per il grado del polinomio minimo che non può superare $n^2$. (In realtà per il teorema di Hamilton-Cayley, il grado del polinomio minimo non può superare $n$)