$g(v,w)= <A(v),w> = <v, B(w)>$ con $A$ e $B$ uni

[Steven11]

Ciao a tutti.

La questione è probabilmente facile, ma forse per lacune passate (l'anno scorso non affrontai gli spazi duali), o per un momento poco favorevole, mi perdo in questo ragionamento.

Devo provare che data un'applicazione bilineare [tex]$g:V\times V\to\mathbb{K}$[/tex] e un prodotto scalare [tex]$<,>$[/tex]
esistono unici gli endomorfismi [tex]$A,B: V\to V$[/tex] tali che

[tex]$g(v,w)=\quad \quad=\quad $[/tex]

Il libro dimostra la seconda parte, cioè data $A$ esiste ed è unica $B$, facendo questo ragionamento:
fissato [tex]$w$[/tex], pongo [tex]$F_w(v)=$[/tex], che è un funzionale lineare (applicazione lineare da [tex]$V$[/tex] a[tex]$K$[/tex]).

Ma siccome il prodotto scalare è non degenere, dice che in virtù di un teorema (che ora cito) esiste un unico [tex]$\bar{w}$[/tex] tale che
[tex]$F_w = $[/tex]
Il teorema è quello secondo cui l'applicazione
[tex]$\delta_b$[/tex] che associa a [tex]$w\inV$[/tex] il funzionale [tex]$b_w'(v)=b(v,w)$[/tex] con $b$ forma bilineare data è un isomorfismo tra [tex]$V$[/tex] e lo spazio duale, il tutto nell'ipotesi che la forma bilineare non sia degenere (come nel nostro caso, che abbiamo un prodotto scalare).

Una volta detto questo, l'endomorfismo [tex]$B$[/tex] è quello che associa [tex]$w\to\bar{w}$[/tex] e si conclude.

Io però non riesco a capire il pezzo in cui si introduce [tex]$\bar{w}$[/tex].
Sta fissando [tex]$v$[/tex]?
Spero che qualcuno possa darmi una delucidazione.

In ogni caso, il libro di riferimento è il Sernesi, pagine 213 e 265.

Grazie in anticipo, scusate la probabile banalità della cosa.
Buon pomeriggio.

[dissonance]

Quella dimostrazione sul Sernesi è fatta maluccio IMHO. A suo tempo dette problemi anche a me. Consulta invece il Lang Algebra lineare, che la fa in maniera molto più semplice.