Guida alla risoluzione dei sistemi lineari
Ho notato che molti utenti pongono domande sulla risoluzione dei sistemi lineari e ho pensato che un topic generale di “orientamento” nell'argomento potesse essere utile. A mio giudizio questa è una delle questioni più meccaniche in assoluto e un piccolo riassunto potrebbe tornare utile a molti.
Faccio notare che Rouchè Capelli è fondamentale nonchè comodissimo per trattare la discussione di sistemi con parametro!
Supponiamo di avere un sistema lineare a [tex]m[/tex] equazioni ed [tex]n[/tex] incognite, denotato da
[tex]A\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b} \to
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}
\end{array}\right) \cdot
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{array}\right)[/tex]
Il teorema di Rouchè Capelli fornisce una via risolutiva molto schematica, basata sul calcolo del rango (vedi appendice A) di matrice completa e incompleta.
La matrice incompleta del sistema è semplicemente la matrice [tex]A[/tex], mentre la matrice completa, denotata [tex]A|b[/tex], si ottiene aggiungendo ad [tex]A[/tex] come ulteriore colonna il vettore dei termini noti [tex]\mathbf{b}[/tex], così:
[tex]\left( \begin{array}{ccc|c}
a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}&b_m
\end{array}\right)[/tex]
Riporto ora lo schema risolutivo fornito dal teorema; chi risolve un esercizio del genere deve capire in quale caso il sistema rientra e trarre le conclusioni.
Caso 1: [tex]rank(A)\neq rank(A|b)[/tex]
Il sistema è impossibile, cioè non ha alcuna soluzione.
Caso 2: [tex]rank(A)=rank(A|b)= n[/tex] (ricordo che [tex]n[/tex] è il numero delle incognite)
Il sistema è determinato, cioè ha un'unica soluzione. Per trovarla si possono applicare vari metodi, riassunti nell'appendice B.
Caso 3: [tex]rank(A)=rank(A|b)< n[/tex]
Il sistema è indeterminato, ovvero ha infinite soluzioni. Il numero di parametri liberi, cioè liberi di variare per fornire appunto le infinite soluzioni, è [tex]k: =n-rank(A)[/tex]; si dice anche che il sistema ha [tex]\infty^k[/tex] soluzioni. Per esplicitare la soluzione generica, si scelgono – possibilmente in un modo che convenga ai fini del calcolo – [tex]k[/tex] incognite e si ricavano tutte le altre in funzione di esse; può risultare utile utilizzare la riduzione a gradini (inclusa nell'appendice B). Gli esempi in fondo comunque chiariscono meglio cosa si deve fare.
APPENDICE A: calcolo del rango
Supponiamo di avere una matrice qualunque [tex]A[/tex] con [tex]m[/tex] righe ed [tex]n[/tex] colonne e di volerne calcolare il rango. Se la matrice risulta essere quadrata ( [tex]m=n[/tex] ), conviene come prima cosa calcolarne il determinante. Se è non nullo abbiamo già trovato il rango ( [tex]n[/tex] ), altrimenti possiamo solo dire che $rank(A) < n $ e provare un'altra via.
Il metodo generale più comune è il metodo degli orlati. Si parte cercando un minore non nullo di ordine [tex]2[/tex]. Trovatolo, si cerca di “orlarlo” per avere un minore non nullo di ordine [tex]3[/tex]... E così via fino a che non si arriva ad avere un minore non nullo di ordine [tex]k[/tex] e non si riesce più a continuare. Allora si conclude che il rango della matrice è [tex]k[/tex].
Il vantaggio di questo metodo è che ogni volta che orliamo abbiamo il minore precedentemente trovato a cui “ancorarci” e non dobbiamo quindi provare tutte le combinazioni possibili, ma molte meno!
Vediamo meglio con un esempio:
APPENDICE B: metodi risolutivi per sistemi determinati
Faccio notare che nel caso di sistema determinato, abbiamo sempre una matrice incompleta quadrata, in quanto è sempre possibile eliminare righe che sono tutte nulle o combinazioni lineare di altre ed ottenere un sistema equivalente a quello di partenza.
Come sapere quali righe eventualmente eliminare? Quelle nulle di sicuro. Per quanto riguarda le altre righe inutili, durante il calcolo del rango avrete costruito un minore non nullo di ordine [tex]n[/tex]: tenete le righe che hanno elementi inclusi in questo minore e cancellate tutte le altre.
Riduzione a gradini
Questo metodo è utilizzabile anche nel caso di sistema indeterminato. In questo caso, una volta che avete battezzato le incognite che faranno la parte dei parametri liberi, portate le colonne dei coefficienti ad esse corrispondenti a destra e consideratele come termini noti. Includerò un esempio in fondo al topic, così è più chiaro.
Lo scopo di questo metodo è ottenere una matrice incompleta della forma
[tex]\left(\begin{array}{ccccc}
\star&\star&\star&\cdots&\star\\
0&\star&\star&\cdots&\star\\
0&0&\star&\cdots&\star\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&\star\\
\end{array}\right)[/tex]
Per farlo si può:
Faccio notare che Rouchè Capelli è fondamentale nonchè comodissimo per trattare la discussione di sistemi con parametro!
Supponiamo di avere un sistema lineare a [tex]m[/tex] equazioni ed [tex]n[/tex] incognite, denotato da
[tex]A\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b} \to
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}
\end{array}\right) \cdot
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{array}\right)[/tex]
Il teorema di Rouchè Capelli fornisce una via risolutiva molto schematica, basata sul calcolo del rango (vedi appendice A) di matrice completa e incompleta.
La matrice incompleta del sistema è semplicemente la matrice [tex]A[/tex], mentre la matrice completa, denotata [tex]A|b[/tex], si ottiene aggiungendo ad [tex]A[/tex] come ulteriore colonna il vettore dei termini noti [tex]\mathbf{b}[/tex], così:
[tex]\left( \begin{array}{ccc|c}
a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}&b_m
\end{array}\right)[/tex]
Riporto ora lo schema risolutivo fornito dal teorema; chi risolve un esercizio del genere deve capire in quale caso il sistema rientra e trarre le conclusioni.
Caso 1: [tex]rank(A)\neq rank(A|b)[/tex]
Il sistema è impossibile, cioè non ha alcuna soluzione.
Caso 2: [tex]rank(A)=rank(A|b)= n[/tex] (ricordo che [tex]n[/tex] è il numero delle incognite)
Il sistema è determinato, cioè ha un'unica soluzione. Per trovarla si possono applicare vari metodi, riassunti nell'appendice B.
Caso 3: [tex]rank(A)=rank(A|b)< n[/tex]
Il sistema è indeterminato, ovvero ha infinite soluzioni. Il numero di parametri liberi, cioè liberi di variare per fornire appunto le infinite soluzioni, è [tex]k: =n-rank(A)[/tex]; si dice anche che il sistema ha [tex]\infty^k[/tex] soluzioni. Per esplicitare la soluzione generica, si scelgono – possibilmente in un modo che convenga ai fini del calcolo – [tex]k[/tex] incognite e si ricavano tutte le altre in funzione di esse; può risultare utile utilizzare la riduzione a gradini (inclusa nell'appendice B). Gli esempi in fondo comunque chiariscono meglio cosa si deve fare.
APPENDICE A: calcolo del rango
Supponiamo di avere una matrice qualunque [tex]A[/tex] con [tex]m[/tex] righe ed [tex]n[/tex] colonne e di volerne calcolare il rango. Se la matrice risulta essere quadrata ( [tex]m=n[/tex] ), conviene come prima cosa calcolarne il determinante. Se è non nullo abbiamo già trovato il rango ( [tex]n[/tex] ), altrimenti possiamo solo dire che $rank(A) < n $ e provare un'altra via.
Il metodo generale più comune è il metodo degli orlati. Si parte cercando un minore non nullo di ordine [tex]2[/tex]. Trovatolo, si cerca di “orlarlo” per avere un minore non nullo di ordine [tex]3[/tex]... E così via fino a che non si arriva ad avere un minore non nullo di ordine [tex]k[/tex] e non si riesce più a continuare. Allora si conclude che il rango della matrice è [tex]k[/tex].
Il vantaggio di questo metodo è che ogni volta che orliamo abbiamo il minore precedentemente trovato a cui “ancorarci” e non dobbiamo quindi provare tutte le combinazioni possibili, ma molte meno!
Vediamo meglio con un esempio:
APPENDICE B: metodi risolutivi per sistemi determinati
Faccio notare che nel caso di sistema determinato, abbiamo sempre una matrice incompleta quadrata, in quanto è sempre possibile eliminare righe che sono tutte nulle o combinazioni lineare di altre ed ottenere un sistema equivalente a quello di partenza.
Come sapere quali righe eventualmente eliminare? Quelle nulle di sicuro. Per quanto riguarda le altre righe inutili, durante il calcolo del rango avrete costruito un minore non nullo di ordine [tex]n[/tex]: tenete le righe che hanno elementi inclusi in questo minore e cancellate tutte le altre.
Riduzione a gradini
Questo metodo è utilizzabile anche nel caso di sistema indeterminato. In questo caso, una volta che avete battezzato le incognite che faranno la parte dei parametri liberi, portate le colonne dei coefficienti ad esse corrispondenti a destra e consideratele come termini noti. Includerò un esempio in fondo al topic, così è più chiaro.
Lo scopo di questo metodo è ottenere una matrice incompleta della forma
[tex]\left(\begin{array}{ccccc}
\star&\star&\star&\cdots&\star\\
0&\star&\star&\cdots&\star\\
0&0&\star&\cdots&\star\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&\star\\
\end{array}\right)[/tex]
Per farlo si può:
- scambiare righe tra loro
moltiplicare una riga per un numero reale e sommarla ad un altra.[/list:u:2hrf604j]
A questo scopo useremo gli elementi della diagonale principale come pivot per procurarci tutti quegli zeri. Nota bene: tutte queste operazioni vanno fatte sulla matrice completa, è un grave errore lavorare sull'incompleta.
Credo che un esempio chiarisca molto di più di una regola generale:
Il vantaggio di questo metodo è che con la matrice ridotta a scalini si può facilmente ricavare l'ultima variabile, poi andandola a sostituire nella penultima equazione trovare la penultima... e così via fino alla prima variabile.
Nel nostro esempio:
Cramer
Questa regola è piuttosto immediata, ma rischia di trasformarsi in un inferno di conti... io la terrei buona per matrici di dimensioni non superiori a [tex]4[/tex] oppure per matrici piene di zeri.
La i-esima variabile si ricava con questa semplice operazione:
[tex]\displaystyle x_i =\frac{det(A_i)}{det(A)}[/tex]
dove la matrice [tex]A_i[/tex] è quella che si ottiene sostituendo alla colonna i-esima di [tex]A[/tex] il vettore dei termini noti [tex]\mathbf{b}[/tex].
Facciamo un esempio:
ESEMPI (da completare)
Sistemi determinati
Sistemi indeterminati
Sistemi impossibili
Sistemi parametrici
********************************************************************************
P.S. Se ho fatto errori o dimenticato qualche contenuto, critiche e commenti sono ben accetti! Vorrei che questo topic fosse il più completo e chiaro possibile.
Paola
Risposte
"momo1":
Ok, vi ringrazio, non ho trovato però una dimostrazione del perchè il rango della matrice ridotta è uguale a quello della completa.
Penso di aver capito, correggetemi se sbaglio. Dipende dal fatto che il rango della trasposta è uguale a quello della matrice stessa? Se ho n righe indipendenti, moltiplicando per una costante o sommandole tra di loro, avrò sempre n righe indipendenti alla fine.
ciao ragazzi, mi chiedevo:
ho un sistema lineare nella forma $Ax=b$ con 2 parametri: uno nella matrice $A$ e uno nella colonna dei termini noti. La matrice $A$ è una 3 per 4 ed il sistema ha 4 incognite; mi accorgo che 2 colonne di $A$ sono l'una multipla dell'altra(la seconda e la quarta per esempio). Ora posso portare la tutti i termini di di $x_4$ (la quarta colonna) tra i termini noti e considerare $x_4$ come parametro aggiuntivo? La cosa mi semplificherebbe molto la vita perché avrei una matrice incompleta 3 per 3 e potrei usare Cramer per risolverla.
Grazie
ho un sistema lineare nella forma $Ax=b$ con 2 parametri: uno nella matrice $A$ e uno nella colonna dei termini noti. La matrice $A$ è una 3 per 4 ed il sistema ha 4 incognite; mi accorgo che 2 colonne di $A$ sono l'una multipla dell'altra(la seconda e la quarta per esempio). Ora posso portare la tutti i termini di di $x_4$ (la quarta colonna) tra i termini noti e considerare $x_4$ come parametro aggiuntivo? La cosa mi semplificherebbe molto la vita perché avrei una matrice incompleta 3 per 3 e potrei usare Cramer per risolverla.
Grazie
Qualcuno ha consigli da darmi sul come procedere quando ci si trova davanti sistemi DETERMINATI dove mi trovo davanti almeno 5 equazioni in 5 incognite?
Io parto sempre in quarta andando per sostituzione, ma ieri per la prima volta mi son reso conto che una roba è fare quei calcoli a casa, un'altra è tentare di farli ad un esame.
Mi frega il NON avere una metodologia da portare avanti , anche andando per sostituzione vado sempre più o meno ad intuito e mai seguendo uno schema logico, il che credo sia tremendamente sbagliato.
Qualsiasi tipo di consiglio è ben accetto!
Grazie
Io parto sempre in quarta andando per sostituzione, ma ieri per la prima volta mi son reso conto che una roba è fare quei calcoli a casa, un'altra è tentare di farli ad un esame.
Mi frega il NON avere una metodologia da portare avanti , anche andando per sostituzione vado sempre più o meno ad intuito e mai seguendo uno schema logico, il che credo sia tremendamente sbagliato.
Qualsiasi tipo di consiglio è ben accetto!
Grazie
"Ste_1990":
Qualcuno ha consigli da darmi sul come procedere quando ci si trova davanti sistemi DETERMINATI dove mi trovo davanti almeno 5 equazioni in 5 incognite?
Io parto sempre in quarta andando per sostituzione, ma ieri per la prima volta mi son reso conto che una roba è fare quei calcoli a casa, un'altra è tentare di farli ad un esame.
Mi frega il NON avere una metodologia da portare avanti , anche andando per sostituzione vado sempre più o meno ad intuito e mai seguendo uno schema logico, il che credo sia tremendamente sbagliato.
Qualsiasi tipo di consiglio è ben accetto!
Grazie
certo
questo metodo
Scusate io avrei due domande nel caso di sistemi indeterminati.
Puntualmente in ogni testo o dispensa che ho consultato, trovo sempre e solo il metodo di eliminazione di Gauss per la determinazione delle soluzioni, dove come ultimo passaggio per determinare la soluzione generale del sistema "si deve tornare indietro" cioè si devono risolvere algebricamente tutte le equazioni del sistema che ormai sono state semplificate, fissando le variabili libere... il che mi sembra piuttosto laborioso per sistemi molto grossi...
Io mi chiedevo se non esistesse un metodo simile a quello invece di Gauss-Jordan(per sistemi determinati) dove la soluzione appare semplicemente nella colonna dei termini noti...
Cioè visto che le soluzioni devono essere del tipo
$$\textbf{x}=\textbf{v}_0+\textbf{v}_1*x_1+\cdots+\textbf{v}_k*x_k$$
Non c'è modo di operare sulla matrice orlata, così che al termine dei passaggi i vettori $v_i$ compaiano all'interno della matrice?? Sono piuttosto certo che debba esistere, anche perché ingegnandomi sono riuscito a inventarmi delle procedure che fanno quello che ho descritto... però non trovo neanche mezzo testo che ne faccia cenno... Probabilmente ho semplificato troppo per brevità, perché immagino sia necessaria una discussione differente a seconda del rapporto fra rango, n° di righe e colonne... Mi basterebbe anche solo un libro che tratti diffusamente l'argomento(ammesso che esista)...
La seconda domanda è sempre sullo stesso argomento, ma nello specifico caso in cui la matrice sia quadrata e singolare.... anche in questo caso vuoto totale nella letteratura... trovo solo eliminazione di gauss alla nausea... ogni libro mi sembra la scopiazzatura tale e quale di quello precedente... il massimo che sono riuscito a trovare sono vaghi cenni al teorema di Jordan e alle matrici pseudoinverse... ma anche qui ogni testo da solo dei vaghissimi cenni e poi si ferma dicendo che "non c'è tempo" o "è troppo complicato"... i meno ermetici enunciano e dimostrano il teorema di Jordan, ma in ogni caso non sprecano neanche una riga per dire come poi da queste matrici si ottenga la soluzione(se esiste) del sistema.
Qualcuno sa aiutarmi ?
Puntualmente in ogni testo o dispensa che ho consultato, trovo sempre e solo il metodo di eliminazione di Gauss per la determinazione delle soluzioni, dove come ultimo passaggio per determinare la soluzione generale del sistema "si deve tornare indietro" cioè si devono risolvere algebricamente tutte le equazioni del sistema che ormai sono state semplificate, fissando le variabili libere... il che mi sembra piuttosto laborioso per sistemi molto grossi...
Io mi chiedevo se non esistesse un metodo simile a quello invece di Gauss-Jordan(per sistemi determinati) dove la soluzione appare semplicemente nella colonna dei termini noti...
Cioè visto che le soluzioni devono essere del tipo
$$\textbf{x}=\textbf{v}_0+\textbf{v}_1*x_1+\cdots+\textbf{v}_k*x_k$$
Non c'è modo di operare sulla matrice orlata, così che al termine dei passaggi i vettori $v_i$ compaiano all'interno della matrice?? Sono piuttosto certo che debba esistere, anche perché ingegnandomi sono riuscito a inventarmi delle procedure che fanno quello che ho descritto... però non trovo neanche mezzo testo che ne faccia cenno... Probabilmente ho semplificato troppo per brevità, perché immagino sia necessaria una discussione differente a seconda del rapporto fra rango, n° di righe e colonne... Mi basterebbe anche solo un libro che tratti diffusamente l'argomento(ammesso che esista)...
La seconda domanda è sempre sullo stesso argomento, ma nello specifico caso in cui la matrice sia quadrata e singolare.... anche in questo caso vuoto totale nella letteratura... trovo solo eliminazione di gauss alla nausea... ogni libro mi sembra la scopiazzatura tale e quale di quello precedente... il massimo che sono riuscito a trovare sono vaghi cenni al teorema di Jordan e alle matrici pseudoinverse... ma anche qui ogni testo da solo dei vaghissimi cenni e poi si ferma dicendo che "non c'è tempo" o "è troppo complicato"... i meno ermetici enunciano e dimostrano il teorema di Jordan, ma in ogni caso non sprecano neanche una riga per dire come poi da queste matrici si ottenga la soluzione(se esiste) del sistema.
Qualcuno sa aiutarmi ?
Probabilmente ho capito male la tua richiesta ma applicando Gauss-Jordan non ottieni ciò che chiedi?
Dai un'occhiata a questo ed eventualmente al capitolo precedente.
Cordialmente, Alex
Dai un'occhiata a questo ed eventualmente al capitolo precedente.
Cordialmente, Alex
Grazie per la risposta,
ho appena letto i due capitoli e tutti gli esempi, però anche lui non affronta nel dettaglio quello che interessa a me... citando direttamente il testo:
In sostanza alla mia domanda dice "arrangiati"... poi magari non ho capito io, però anche guardando i suoi esempi ed esercizi svolti, prende sempre matrici minuscole e per dare la soluzione generale anche lui si mette a risolvere algebricamente le equazioni indipendenti del sistema equivalente...
Forse non mi sono spiegato bene io, a questo punto ti chiederei ad esempio, come faresti a trovare i 9 vettori $v_i$ della soluzione generale di un sistema non omogeneo 7x12, compatibile, di rango 4, senza mai scrivere in forma algebrica nessuna delle equazioni?
ho appena letto i due capitoli e tutti gli esempi, però anche lui non affronta nel dettaglio quello che interessa a me... citando direttamente il testo:
If the entire solution set is required, figure out some nice compact way to describe it
In sostanza alla mia domanda dice "arrangiati"... poi magari non ho capito io, però anche guardando i suoi esempi ed esercizi svolti, prende sempre matrici minuscole e per dare la soluzione generale anche lui si mette a risolvere algebricamente le equazioni indipendenti del sistema equivalente...
Forse non mi sono spiegato bene io, a questo punto ti chiederei ad esempio, come faresti a trovare i 9 vettori $v_i$ della soluzione generale di un sistema non omogeneo 7x12, compatibile, di rango 4, senza mai scrivere in forma algebrica nessuna delle equazioni?
"Bossmer":
In sostanza alla mia domanda dice "arrangiati"... poi magari non ho capito io, però anche guardando i suoi esempi ed esercizi svolti, prende sempre matrici minuscole e per dare la soluzione generale anche lui si mette a risolvere algebricamente le equazioni indipendenti del sistema equivalente...
No, a me non pare proprio, tant'è vero che dice che è un metodo del tutto meccanico, "computerizzabile" se così posso dire ...
Una volta arrivato alla "reduced row echelon matrix (con Gauss-Jordan per cui le colonne pivot hanno tutte coefficiente pari a $1$), divide le colonne in due gruppi e la soluzione la costruisce senza risolvere ma pescando le variabili opportunamente.
Non ricordo se in quei due capitoli oppure prima o dopo, ma fa proprio degli esempi passo passo ... se li ritrovo, li linko.
Cordialmente, Alex
Ecco, guarda questo capitolo [Linear Combinations] ed in particolare la Subsection VFSS e gli esempi VFSAD e VFS e poi il teorema VFSLS e gli esempi VFSAI e VFSAL.
Ovviamente leggere anche il resto è meglio
Cordialmente, Alex
Ovviamente leggere anche il resto è meglio
Cordialmente, Alex
Grazie mille, in effetti questi esempi si avvicinano a quello a cui ero arrivato da solo... però anche qui riscrive le equazioni e pesca i coefficienti dalle equazioni, non ottiene i vettori come colonne della matrice "manipolata"... lo si vede anche dal fatto che prende l'opposto dei coefficienti di tutti i termini ad eccezione dell'ultima colonna, il che è inessenziale però significa che è voluto passare attraverso le equazioni algebriche... si vede che va di moda così... In ogni caso grazie questo testo è fatto molto meglio di quelli che ho trovato io!
Io mi chiedevo però se ci fossero anche altre tecniche più incentrate sulla manipolazione matriciale, pensavo più a qualcosa come un orlatura della matrice fino a farla diventare quadrata per poi ottenere i vettori desiderati direttamente come colonne... Oppure costruire delle matrici che moltiplicate al vettore dei termini noti restituissero la soluzione generale(questo forse non è possibile)
Io mi chiedevo però se ci fossero anche altre tecniche più incentrate sulla manipolazione matriciale, pensavo più a qualcosa come un orlatura della matrice fino a farla diventare quadrata per poi ottenere i vettori desiderati direttamente come colonne... Oppure costruire delle matrici che moltiplicate al vettore dei termini noti restituissero la soluzione generale(questo forse non è possibile)
"Bossmer":
... però anche qui riscrive le equazioni e pesca i coefficienti dalle equazioni, non ottiene i vettori come colonne della matrice "manipolata"...
Se mi permetti, non è così.
È vero che negli esempi che fa utilizza ancora la relazione fra le variabili (in forma algebrica) ma lo fa per non "spaventare" il lettore, se così posso dire, eliminandole del tutto; ma potrebbe benissimo farlo (ed infatti lo fa successivamente quando si stacca definitivamente dai sistemi lineari per passare completamente alle matrici e agli spazi vettoriali).
Difatti, subito dopo i primi due esempi citati, c'è il teorema fondamentale VFSLS (sigla per "Vector Form of Solutions to Linear Systems"), un teorema "costruttivo" perché è sì un teorema ma è anche la procedura per costruire l'insieme delle soluzioni del sistema sotto forma di vettori partendo solo ed esclusivamente dalle matrici, niente equazioni, niente algebra.
Cordialmente, Alex
Si hai ragione mi sono soffermato solo a guardare gli esempi ma non ho letto il teorema, in effetti è come dici tu perdonami 
quindi di sicuro leggerò questo testo dal principio. Quello che a questo punto mi incuriosisce ancora è "tutto qui?" nel senso questo è il primo teorema che vedo che restituisce soluzioni senza passare dall'algebra, sai se è "tutto qui" o c'è di più sulla costruzione delle soluzioni?
mi sono soffermato solo a guardare gli esempi ma non ho letto il teorema, in effetti è come dici tu perdonami quindi di sicuro leggerò questo testo dal principio. Quello che a questo punto mi incuriosisce ancora è "tutto qui?" nel senso questo è il primo teorema che vedo che restituisce soluzioni senza passare dall'algebra, sai se è "tutto qui" o c'è di più sulla costruzione delle soluzioni?
"Bossmer":
... quindi di sicuro leggerò questo testo dal principio.
Beh, non esagerare
Non capisco cosa intendi dire con "è tutto qui?"
Io sono un principiante e conosco solo le basi (forse ...
) quindi non saprei dirti, magari leggendo quel testo dall'inizio vedi quale approccio usa e dove vuole andare a parare; comunque, ricordati che in Matematica non è mai "tutto qui" nel senso che da ogni "situazione" possono nascere idee e collegamenti interessanti che neppure supponevi esistessero 
Cordialmente, Alex
Magnifico !!
E' esattamente quello che intendevo!! Non potevo sperare di meglio! Anche se non avevo ma visto questi risultati sapevo che dove esistere qualcosa del genere!! Grazie mille!!
Tutti i risultati sulle inverse generalizzate e le infinite soluzioni, immagino siano presentati e dimostrati in questo libro, sapresti indicarmi anche altri libri che affrontano l'argomento?
E' esattamente quello che intendevo!! Non potevo sperare di meglio! Anche se non avevo ma visto questi risultati sapevo che dove esistere qualcosa del genere!! Grazie mille!!
"Sergio":
(da Searle, Linear Models, John Wiley & Sons, 1971, §1.2.b):
Tutti i risultati sulle inverse generalizzate e le infinite soluzioni, immagino siano presentati e dimostrati in questo libro, sapresti indicarmi anche altri libri che affrontano l'argomento?
Grazie mille!!
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