Guida alla risoluzione dei sistemi lineari
Ho notato che molti utenti pongono domande sulla risoluzione dei sistemi lineari e ho pensato che un topic generale di “orientamento” nell'argomento potesse essere utile. A mio giudizio questa è una delle questioni più meccaniche in assoluto e un piccolo riassunto potrebbe tornare utile a molti.
Faccio notare che Rouchè Capelli è fondamentale nonchè comodissimo per trattare la discussione di sistemi con parametro!
Supponiamo di avere un sistema lineare a [tex]m[/tex] equazioni ed [tex]n[/tex] incognite, denotato da
[tex]A\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b} \to
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}
\end{array}\right) \cdot
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{array}\right)[/tex]
Il teorema di Rouchè Capelli fornisce una via risolutiva molto schematica, basata sul calcolo del rango (vedi appendice A) di matrice completa e incompleta.
La matrice incompleta del sistema è semplicemente la matrice [tex]A[/tex], mentre la matrice completa, denotata [tex]A|b[/tex], si ottiene aggiungendo ad [tex]A[/tex] come ulteriore colonna il vettore dei termini noti [tex]\mathbf{b}[/tex], così:
[tex]\left( \begin{array}{ccc|c}
a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}&b_m
\end{array}\right)[/tex]
Riporto ora lo schema risolutivo fornito dal teorema; chi risolve un esercizio del genere deve capire in quale caso il sistema rientra e trarre le conclusioni.
Caso 1: [tex]rank(A)\neq rank(A|b)[/tex]
Il sistema è impossibile, cioè non ha alcuna soluzione.
Caso 2: [tex]rank(A)=rank(A|b)= n[/tex] (ricordo che [tex]n[/tex] è il numero delle incognite)
Il sistema è determinato, cioè ha un'unica soluzione. Per trovarla si possono applicare vari metodi, riassunti nell'appendice B.
Caso 3: [tex]rank(A)=rank(A|b)< n[/tex]
Il sistema è indeterminato, ovvero ha infinite soluzioni. Il numero di parametri liberi, cioè liberi di variare per fornire appunto le infinite soluzioni, è [tex]k: =n-rank(A)[/tex]; si dice anche che il sistema ha [tex]\infty^k[/tex] soluzioni. Per esplicitare la soluzione generica, si scelgono – possibilmente in un modo che convenga ai fini del calcolo – [tex]k[/tex] incognite e si ricavano tutte le altre in funzione di esse; può risultare utile utilizzare la riduzione a gradini (inclusa nell'appendice B). Gli esempi in fondo comunque chiariscono meglio cosa si deve fare.
APPENDICE A: calcolo del rango
Supponiamo di avere una matrice qualunque [tex]A[/tex] con [tex]m[/tex] righe ed [tex]n[/tex] colonne e di volerne calcolare il rango. Se la matrice risulta essere quadrata ( [tex]m=n[/tex] ), conviene come prima cosa calcolarne il determinante. Se è non nullo abbiamo già trovato il rango ( [tex]n[/tex] ), altrimenti possiamo solo dire che $rank(A) < n $ e provare un'altra via.
Il metodo generale più comune è il metodo degli orlati. Si parte cercando un minore non nullo di ordine [tex]2[/tex]. Trovatolo, si cerca di “orlarlo” per avere un minore non nullo di ordine [tex]3[/tex]... E così via fino a che non si arriva ad avere un minore non nullo di ordine [tex]k[/tex] e non si riesce più a continuare. Allora si conclude che il rango della matrice è [tex]k[/tex].
Il vantaggio di questo metodo è che ogni volta che orliamo abbiamo il minore precedentemente trovato a cui “ancorarci” e non dobbiamo quindi provare tutte le combinazioni possibili, ma molte meno!
Vediamo meglio con un esempio:
APPENDICE B: metodi risolutivi per sistemi determinati
Faccio notare che nel caso di sistema determinato, abbiamo sempre una matrice incompleta quadrata, in quanto è sempre possibile eliminare righe che sono tutte nulle o combinazioni lineare di altre ed ottenere un sistema equivalente a quello di partenza.
Come sapere quali righe eventualmente eliminare? Quelle nulle di sicuro. Per quanto riguarda le altre righe inutili, durante il calcolo del rango avrete costruito un minore non nullo di ordine [tex]n[/tex]: tenete le righe che hanno elementi inclusi in questo minore e cancellate tutte le altre.
Riduzione a gradini
Questo metodo è utilizzabile anche nel caso di sistema indeterminato. In questo caso, una volta che avete battezzato le incognite che faranno la parte dei parametri liberi, portate le colonne dei coefficienti ad esse corrispondenti a destra e consideratele come termini noti. Includerò un esempio in fondo al topic, così è più chiaro.
Lo scopo di questo metodo è ottenere una matrice incompleta della forma
[tex]\left(\begin{array}{ccccc}
\star&\star&\star&\cdots&\star\\
0&\star&\star&\cdots&\star\\
0&0&\star&\cdots&\star\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&\star\\
\end{array}\right)[/tex]
Per farlo si può:
Faccio notare che Rouchè Capelli è fondamentale nonchè comodissimo per trattare la discussione di sistemi con parametro!
Supponiamo di avere un sistema lineare a [tex]m[/tex] equazioni ed [tex]n[/tex] incognite, denotato da
[tex]A\cdot\mathbf{x}=\mathbf{b} \to
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}&\cdots&a_{1n}\\
\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}
\end{array}\right) \cdot
\left(\begin{array}{c}
x_1\\
\vdots\\
x_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
b_1\\
\vdots\\
b_m
\end{array}\right)[/tex]
Il teorema di Rouchè Capelli fornisce una via risolutiva molto schematica, basata sul calcolo del rango (vedi appendice A) di matrice completa e incompleta.
La matrice incompleta del sistema è semplicemente la matrice [tex]A[/tex], mentre la matrice completa, denotata [tex]A|b[/tex], si ottiene aggiungendo ad [tex]A[/tex] come ulteriore colonna il vettore dei termini noti [tex]\mathbf{b}[/tex], così:
[tex]\left( \begin{array}{ccc|c}
a_{11}&\cdots&a_{1n}&b_1\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}&\cdots&a_{mn}&b_m
\end{array}\right)[/tex]
Riporto ora lo schema risolutivo fornito dal teorema; chi risolve un esercizio del genere deve capire in quale caso il sistema rientra e trarre le conclusioni.
Caso 1: [tex]rank(A)\neq rank(A|b)[/tex]
Il sistema è impossibile, cioè non ha alcuna soluzione.
Caso 2: [tex]rank(A)=rank(A|b)= n[/tex] (ricordo che [tex]n[/tex] è il numero delle incognite)
Il sistema è determinato, cioè ha un'unica soluzione. Per trovarla si possono applicare vari metodi, riassunti nell'appendice B.
Caso 3: [tex]rank(A)=rank(A|b)< n[/tex]
Il sistema è indeterminato, ovvero ha infinite soluzioni. Il numero di parametri liberi, cioè liberi di variare per fornire appunto le infinite soluzioni, è [tex]k: =n-rank(A)[/tex]; si dice anche che il sistema ha [tex]\infty^k[/tex] soluzioni. Per esplicitare la soluzione generica, si scelgono – possibilmente in un modo che convenga ai fini del calcolo – [tex]k[/tex] incognite e si ricavano tutte le altre in funzione di esse; può risultare utile utilizzare la riduzione a gradini (inclusa nell'appendice B). Gli esempi in fondo comunque chiariscono meglio cosa si deve fare.
APPENDICE A: calcolo del rango
Supponiamo di avere una matrice qualunque [tex]A[/tex] con [tex]m[/tex] righe ed [tex]n[/tex] colonne e di volerne calcolare il rango. Se la matrice risulta essere quadrata ( [tex]m=n[/tex] ), conviene come prima cosa calcolarne il determinante. Se è non nullo abbiamo già trovato il rango ( [tex]n[/tex] ), altrimenti possiamo solo dire che $rank(A) < n $ e provare un'altra via.
Il metodo generale più comune è il metodo degli orlati. Si parte cercando un minore non nullo di ordine [tex]2[/tex]. Trovatolo, si cerca di “orlarlo” per avere un minore non nullo di ordine [tex]3[/tex]... E così via fino a che non si arriva ad avere un minore non nullo di ordine [tex]k[/tex] e non si riesce più a continuare. Allora si conclude che il rango della matrice è [tex]k[/tex].
Il vantaggio di questo metodo è che ogni volta che orliamo abbiamo il minore precedentemente trovato a cui “ancorarci” e non dobbiamo quindi provare tutte le combinazioni possibili, ma molte meno!
Vediamo meglio con un esempio:
APPENDICE B: metodi risolutivi per sistemi determinati
Faccio notare che nel caso di sistema determinato, abbiamo sempre una matrice incompleta quadrata, in quanto è sempre possibile eliminare righe che sono tutte nulle o combinazioni lineare di altre ed ottenere un sistema equivalente a quello di partenza.
Come sapere quali righe eventualmente eliminare? Quelle nulle di sicuro. Per quanto riguarda le altre righe inutili, durante il calcolo del rango avrete costruito un minore non nullo di ordine [tex]n[/tex]: tenete le righe che hanno elementi inclusi in questo minore e cancellate tutte le altre.
Riduzione a gradini
Questo metodo è utilizzabile anche nel caso di sistema indeterminato. In questo caso, una volta che avete battezzato le incognite che faranno la parte dei parametri liberi, portate le colonne dei coefficienti ad esse corrispondenti a destra e consideratele come termini noti. Includerò un esempio in fondo al topic, così è più chiaro.
Lo scopo di questo metodo è ottenere una matrice incompleta della forma
[tex]\left(\begin{array}{ccccc}
\star&\star&\star&\cdots&\star\\
0&\star&\star&\cdots&\star\\
0&0&\star&\cdots&\star\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&\star\\
\end{array}\right)[/tex]
Per farlo si può:
- scambiare righe tra loro
moltiplicare una riga per un numero reale e sommarla ad un altra.[/list:u:2hrf604j]
A questo scopo useremo gli elementi della diagonale principale come pivot per procurarci tutti quegli zeri. Nota bene: tutte queste operazioni vanno fatte sulla matrice completa, è un grave errore lavorare sull'incompleta.
Credo che un esempio chiarisca molto di più di una regola generale:
Il vantaggio di questo metodo è che con la matrice ridotta a scalini si può facilmente ricavare l'ultima variabile, poi andandola a sostituire nella penultima equazione trovare la penultima... e così via fino alla prima variabile.
Nel nostro esempio:
Cramer
Questa regola è piuttosto immediata, ma rischia di trasformarsi in un inferno di conti... io la terrei buona per matrici di dimensioni non superiori a [tex]4[/tex] oppure per matrici piene di zeri.
La i-esima variabile si ricava con questa semplice operazione:
[tex]\displaystyle x_i =\frac{det(A_i)}{det(A)}[/tex]
dove la matrice [tex]A_i[/tex] è quella che si ottiene sostituendo alla colonna i-esima di [tex]A[/tex] il vettore dei termini noti [tex]\mathbf{b}[/tex].
Facciamo un esempio:
ESEMPI (da completare)
Sistemi determinati
Sistemi indeterminati
Sistemi impossibili
Sistemi parametrici
********************************************************************************
P.S. Se ho fatto errori o dimenticato qualche contenuto, critiche e commenti sono ben accetti! Vorrei che questo topic fosse il più completo e chiaro possibile.
Paola
Risposte
Grazie ancora, mi hai tolto un sacco di dubbi 
E quando sia la matrice incompleta e quella completa sono rettangolari e siamo in presenza di un parametro come si procede? bisogna applicare il principio dei minori orlati e ok, ma come? e di quale matrice??? di quella completa o incompleta??? poichè il discorso rientra in quel che è qui scritto, potreste fare un esempio di un sistema di tal genere e commentarlo?
Dipende... a tutte e due. Il metodo degli orlati è un metodo generale per trovare il rango di una matrice. Tu per analizzare un sistema devi confrontare i ranghi di matrice completa e incompleta. Naturalmente essendo l'incompleta parte della completa di solito uno parte dal rango dell'incompleta e poi utilizza questi conti *anche* per capire quello della completa (mica si rifà tutto il lavoro daccapo! ).
Se hai ancora dubbi puoi provare a postare il tuo esercizio, o qui o in un nuovo topic (vedo che sei nuova quindi specifico: mi raccomando scrivi le formule con il sistema apposito, se no leggere diventa un inferno per chi vuole risponderti).
Paola
).Se hai ancora dubbi puoi provare a postare il tuo esercizio, o qui o in un nuovo topic (vedo che sei nuova quindi specifico: mi raccomando scrivi le formule con il sistema apposito, se no leggere diventa un inferno per chi vuole risponderti).
Paola
Grazie, veramente ottimo post mi è molto utile per la risoluzione di sistemi lineari! Grazie ancora per il lavoro svolto!
Ciao a tutti! mi trovo in difficoltà a risolvere un sistema lineare al variare di 3 parametri 
Il sistema è il seguente:
$ { ( x-y+3t=5alpha ),( alphax+z+t=2gamma ),( 2x+betay+3z=1 ):} $
Allora io calcolo il determinante della matrice incompleta A del sistema Ax=B così da verificarne il rango. Vedo (calcolando un minore di ordine 2) che il sistema ha rango $ >= 2 $ . Ora calcolo il determinante di A
$ | ( 1 , -1 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , beta , 3 ) | $ = $ -beta+3alpha(1+beta)-5 $
ora io procederei analizzando il determinante al variare di beta...ma poi mi blocco perchè se pongo $ beta $ =-1 il determinante è sempre $ beta!= 0 $ per $ beta!= -5 $ ma non so...
Il sistema è il seguente:
$ { ( x-y+3t=5alpha ),( alphax+z+t=2gamma ),( 2x+betay+3z=1 ):} $
Allora io calcolo il determinante della matrice incompleta A del sistema Ax=B così da verificarne il rango. Vedo (calcolando un minore di ordine 2) che il sistema ha rango $ >= 2 $ . Ora calcolo il determinante di A
$ | ( 1 , -1 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , beta , 3 ) | $ = $ -beta+3alpha(1+beta)-5 $
ora io procederei analizzando il determinante al variare di beta...ma poi mi blocco perchè se pongo $ beta $ =-1 il determinante è sempre $ beta!= 0 $ per $ beta!= -5 $ ma non so...
@Sossella,
tu hai il sistema lineare $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
x-y+3t=5\alpha \\
\alpha x+z+t=2\gamma\\
2x+\beta y+3z=1
\end{matrix}\right.$$ ergo vedo che ha \( 4 \) variabili, \(x,y,z,t\), e la matrice incompleta e completa di \( \Sigma \) sono rispettivamente $$A(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
1& -1& 0 &3 \\
\alpha & 0&1 &1 \\
2& \beta& 3& 0
\end{Vmatrix} \text{ ; } A|\text{b}(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
1& -1& 0 &3 &5\alpha\\
\alpha & 0&1 &1 &2 \gamma\\
2& \beta& 3& 0 &1
\end{Vmatrix}$$
ciò che non mi torna sono gli elementi \( a_{22}=1,a_{33}=3 \) della tua matrice
da dove sbucano fuori!?
Saluti
"Sossella":
Ciao a tutti! mi trovo in difficoltà a risolvere un sistema lineare al variare di 3 parametri
Il sistema è il seguente:
$ { ( x-y+3t=5alpha ),( alphax+z+t=2gamma ),( 2x+betay+3z=1 ):} $
Allora io calcolo il determinante della matrice incompleta A del sistema Ax=B così da verificarne il rango. Vedo (calcolando un minore di ordine 2) che il sistema ha rango $ >= 2 $ . Ora calcolo il determinante di A
$ | ( 1 , -1 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , beta , 3 ) | $ = $ -beta+3alpha(1+beta)-5 $
ora io procederei analizzando il determinante al variare di beta...ma poi mi blocco perchè se pongo $ beta $ =-1 il determinante è sempre $ beta!= 0 $ per $ beta!= -5 $ ma non so...
tu hai il sistema lineare $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
x-y+3t=5\alpha \\
\alpha x+z+t=2\gamma\\
2x+\beta y+3z=1
\end{matrix}\right.$$ ergo vedo che ha \( 4 \) variabili, \(x,y,z,t\), e la matrice incompleta e completa di \( \Sigma \) sono rispettivamente $$A(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
1& -1& 0 &3 \\
\alpha & 0&1 &1 \\
2& \beta& 3& 0
\end{Vmatrix} \text{ ; } A|\text{b}(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
1& -1& 0 &3 &5\alpha\\
\alpha & 0&1 &1 &2 \gamma\\
2& \beta& 3& 0 &1
\end{Vmatrix}$$
ciò che non mi torna sono gli elementi \( a_{22}=1,a_{33}=3 \) della tua matrice
"Sossella":
.... $ | ( 1 , -1 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , beta , 3 ) | $ ....
da dove sbucano fuori!?
Saluti
Hai ragione, ho cannato di disattenzione 
Considero la matrice del sistema completo Ax=B $ ( ( 1 , -1 , 0 , 3 , 5alpha ),( alpha , 0 , 1 , 1 , 2gamma ),( 2 , beta , 3 , 0 , 1 ) ) $ e calcolo il determinante dei suoi minori per poter calcolare il rango.
C1= $ | ( 1 , 0 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , 3 , 0 ) | -> alpha !=0 ->alpha !=-1 $
C2= $ | ( -1 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ),( beta , 3 , 0 ) | -> beta !=0 -> beta!=1 $
C3 (Matrice A|B) = $ | ( 0 , 3 , 5alpha ),( 1 , 1 , 2gamma ),( 3 , 0 , 1 ) | ->gamma!=0 -> gamma!=5/6alpha+1/6 $
è corretto il procedimento?
Considero la matrice del sistema completo Ax=B $ ( ( 1 , -1 , 0 , 3 , 5alpha ),( alpha , 0 , 1 , 1 , 2gamma ),( 2 , beta , 3 , 0 , 1 ) ) $ e calcolo il determinante dei suoi minori per poter calcolare il rango.
C1= $ | ( 1 , 0 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , 3 , 0 ) | -> alpha !=0 ->alpha !=-1 $
C2= $ | ( -1 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ),( beta , 3 , 0 ) | -> beta !=0 -> beta!=1 $
C3 (Matrice A|B) = $ | ( 0 , 3 , 5alpha ),( 1 , 1 , 2gamma ),( 3 , 0 , 1 ) | ->gamma!=0 -> gamma!=5/6alpha+1/6 $
è corretto il procedimento?
@Sossella,
il rango di una matrice, in questo caso di ordine \( 3 \times 5 \), è un qualsiasi minore non nullo di ordine \( 3 \) estratto dalla matrice.. tu hai la matrice completa di \( \Sigma\), ovvero $$A|\text{b}(\Sigma):=\begin{Vmatrix} 1& -1& 0 &3 &5\alpha\\ \alpha & 0&1 &1 &2 \gamma\\ 2& \beta& 3& 0 &1 \end{Vmatrix}$$ e prendi nel calcolo di \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))\) il minore $$\det(\begin{Vmatrix} 1& 0 &3 \\ \alpha & 1 &1 \\ 2& 3& 0 \end{Vmatrix})$$ dal calcolo, usando Laplace rispetto alla prima colonna, risulta $$\det(\begin{Vmatrix} 1& 0 &3 \\ \alpha & 1 &1 \\ 2& 3& 0 \end{Vmatrix})=1\cdot\det(\begin{Vmatrix} 1& 1 \\ 3& 0 \end{Vmatrix})-\alpha \cdot \det(\begin{Vmatrix} 0 &3 \\ 3& 0 \end{Vmatrix})+2\cdot \det(\begin{Vmatrix} 0 &3 \\ 1 &1 \end{Vmatrix})=-3+9\alpha -6=$$$$=9\alpha-9=9(\alpha-1)$$ ergo \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3\) per \( \alpha \neq 1 \)$$
ti domando "perchè considerare un ulteriore minore?", basta che "almeno uno sia non nullo..."
Inolte, il minore in questione è anche un minore della matrice incompleta \( A(\Sigma)\), ergo $$\mathbf{rnk}(A(\Sigma))= \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3 $$ Saluti
"Sossella":
Hai ragione, ho cannato di disattenzione
Considero la matrice del sistema completo Ax=B $ ( ( 1 , -1 , 0 , 3 , 5alpha ),( alpha , 0 , 1 , 1 , 2gamma ),( 2 , beta , 3 , 0 , 1 ) ) $ e calcolo il determinante dei suoi minori per poter calcolare il rango.
C1= $ | ( 1 , 0 , 3 ),( alpha , 1 , 1 ),( 2 , 3 , 0 ) | -> alpha !=0 ->alpha !=-1 $
C2= $ | ( -1 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 1 ),( beta , 3 , 0 ) | -> beta !=0 -> beta!=1 $
C3 (Matrice A|B) = $ | ( 0 , 3 , 5alpha ),( 1 , 1 , 2gamma ),( 3 , 0 , 1 ) | ->gamma!=0 -> gamma!=5/6alpha+1/6 $
è corretto il procedimento?
il rango di una matrice, in questo caso di ordine \( 3 \times 5 \), è un qualsiasi minore non nullo di ordine \( 3 \) estratto dalla matrice.. tu hai la matrice completa di \( \Sigma\), ovvero $$A|\text{b}(\Sigma):=\begin{Vmatrix} 1& -1& 0 &3 &5\alpha\\ \alpha & 0&1 &1 &2 \gamma\\ 2& \beta& 3& 0 &1 \end{Vmatrix}$$ e prendi nel calcolo di \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))\) il minore $$\det(\begin{Vmatrix} 1& 0 &3 \\ \alpha & 1 &1 \\ 2& 3& 0 \end{Vmatrix})$$ dal calcolo, usando Laplace rispetto alla prima colonna, risulta $$\det(\begin{Vmatrix} 1& 0 &3 \\ \alpha & 1 &1 \\ 2& 3& 0 \end{Vmatrix})=1\cdot\det(\begin{Vmatrix} 1& 1 \\ 3& 0 \end{Vmatrix})-\alpha \cdot \det(\begin{Vmatrix} 0 &3 \\ 3& 0 \end{Vmatrix})+2\cdot \det(\begin{Vmatrix} 0 &3 \\ 1 &1 \end{Vmatrix})=-3+9\alpha -6=$$$$=9\alpha-9=9(\alpha-1)$$ ergo \( \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3\) per \( \alpha \neq 1 \)$$
ti domando "perchè considerare un ulteriore minore?", basta che "almeno uno sia non nullo..."
Inolte, il minore in questione è anche un minore della matrice incompleta \( A(\Sigma)\), ergo $$\mathbf{rnk}(A(\Sigma))= \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3 $$ Saluti
Ok, ora ho capito!! Quindi scegliere alfa o beta da studiare mi è indifferente perchè basta che considero un minore di ordine 3 e ne studio il rango.
Ora, nelle soluzioni, mi basta esplicitare che la matrice ha rango=3 per $ alpha!=1 $? oppure devo inserire anche $ AA beta,gamma in R $ ?
Ora, nelle soluzioni, mi basta esplicitare che la matrice ha rango=3 per $ alpha!=1 $? oppure devo inserire anche $ AA beta,gamma in R $ ?
@Sossella,
non fare domande
, scrivi come pensi che faresti.. tu hai $$\alpha \neq 1 \to \mathbf{rnk}(A(\Sigma))= \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3Rouchè-Capelli", "compatibile" ma "indeterminato" (ammette cioè, si dice, "infinite soluzioni", o meglio "\(\infty^{r=?} \) soluzioni"... ti domando "quanto vale \(r\)?"[nota]quei docenti palermitani 
[/nota]).. ti rimane esplicitare queste soluzioni! Una volta esplicitate non hai certo finito, devi studiare il sistema per \( \alpha=1\) e vedere cosa succede al \(\mathbf{rnk}(A(\Sigma))\) e \(\mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))\) 
.. e così via!! Continua tu!
Saluti
"Sossella":
Ok, ora ho capito!! Quindi scegliere alfa o beta da studiare mi è indifferente perchè basta che considero un minore di ordine 3 e ne studio il rango.
Ora, nelle soluzioni, mi basta esplicitare che la matrice ha rango=3 per $ alpha!=1 $? oppure devo inserire anche $ AA beta,gamma in R $ ?
non fare domande
, scrivi come pensi che faresti.. tu hai $$\alpha \neq 1 \to \mathbf{rnk}(A(\Sigma))= \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3[/nota]).. ti rimane esplicitare queste soluzioni! Una volta esplicitate non hai certo finito, devi studiare il sistema per \( \alpha=1\) e vedere cosa succede al \(\mathbf{rnk}(A(\Sigma))\) e \(\mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))\) .. e così via!! Continua tu! Saluti
"garnak.olegovitc":
@Sossella,
[quote="Sossella"]Ok, ora ho capito!! Quindi scegliere alfa o beta da studiare mi è indifferente perchè basta che considero un minore di ordine 3 e ne studio il rango.
Ora, nelle soluzioni, mi basta esplicitare che la matrice ha rango=3 per $ alpha!=1 $? oppure devo inserire anche $ AA beta,gamma in R $ ?
non fare domande
, scrivi come pensi che faresti.. tu hai $$\alpha \neq 1 \to \mathbf{rnk}(A(\Sigma))= \mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))=3[/nota]).. ti rimane esplicitare queste soluzioni! Una volta esplicitate non hai certo finito, devi studiare il sistema per \( \alpha=1\) e vedere cosa succede al \(\mathbf{rnk}(A(\Sigma))\) e \(\mathbf{rnk}(A|\text{b}(\Sigma))\) .. e così via!! Continua tu! Saluti[/quote]
Innanzitutto le soluzioni sono $ oo ^(4-3=1) $
Poi devo esplicitare le soluzioni. Ora posso trasformare il sistema in uno di Cramer di questo tipo:
$ { ( -y+3t=5alpha-x ),( z+t=2gamma-alphax ),( betay+3z=1-2x ):} $ e calcolarne le soluzioni (questo procedimento è lo stesso che il nostro prof ci ha fatto con un altro sistema)
$ y=| ( 0 , 3 , 5alpha-x ),( 1 , 1 , 2gamma-alphax ),( 3 , 0 , 1-2x ) | *1/|A| $
$ z= $ $ | ( -1 , 5alpha-x , 3 ),( 0 , 2gamma-alphax , 1 ),( beta , 1-2x , 0 ) | *1/|A| $
$ t= $ $| ( -1 , 0 , 5alpha-x ),( 0 , 1 , 2gamma-alphax ),( beta , 3 , 1-2x ) | *1/|A| $
Poi studio la matrice al variare di $ beta $ (con $ alpha=1 $) e vedo che $ beta !=1 $ $ rg(A)=rg(A|B)=3 $ con $ oo ^(4-3=1) $ soluzioni.
Così procedo sempre con Cramer per trovarne le soluzioni. Io farei così...ma non mi sembra quadri molto
@Sossella,
se sicura che $ y=| ( 0 , 3 , 5alpha-x ),( 1 , 1 , 2gamma-alphax ),( 3 , 0 , 1-2x ) | *1/|A| $ ?? E poi, che intendi per
Saluti
"Sossella":
Innanzitutto le soluzioni sono $ oo ^(4-3=1) $
Poi devo esplicitare le soluzioni. Ora posso trasformare il sistema in uno di Cramer di questo tipo:
$ { ( -y+3t=5alpha-x ),( z+t=2gamma-alphax ),( betay+3z=1-2x ):} $ e calcolarne le soluzioni (questo procedimento è lo stesso che il nostro prof ci ha fatto con un altro sistema)
$ y=| ( 0 , 3 , 5alpha-x ),( 1 , 1 , 2gamma-alphax ),( 3 , 0 , 1-2x ) | *1/|A| $
$ z= $ $ | ( -1 , 5alpha-x , 3 ),( 0 , 2gamma-alphax , 1 ),( beta , 1-2x , 0 ) | *1/|A| $
$ t= $ $| ( -1 , 0 , 5alpha-x ),( 0 , 1 , 2gamma-alphax ),( beta , 3 , 1-2x ) | *1/|A| $
Poi studio la matrice al variare di $ beta $ (con $ alpha=1 $) e vedo che $ beta !=1 $ $ rg(A)=rg(A|B)=3 $ con $ oo ^(4-3=1) $ soluzioni.
Così procedo sempre con Cramer per trovarne le soluzioni. Io farei così...ma non mi sembra quadri molto
se sicura che $ y=| ( 0 , 3 , 5alpha-x ),( 1 , 1 , 2gamma-alphax ),( 3 , 0 , 1-2x ) | *1/|A| $ ?? E poi, che intendi per
"Sossella":
...ma non mi sembra quadri molto
Saluti
"garnak.olegovitc":
@Sossella,
[quote="Sossella"]
Innanzitutto le soluzioni sono $ oo ^(4-3=1) $
Poi devo esplicitare le soluzioni. Ora posso trasformare il sistema in uno di Cramer di questo tipo:
$ { ( -y+3t=5alpha-x ),( z+t=2gamma-alphax ),( betay+3z=1-2x ):} $ e calcolarne le soluzioni (questo procedimento è lo stesso che il nostro prof ci ha fatto con un altro sistema)
$ y=| ( 0 , 3 , 5alpha-x ),( 1 , 1 , 2gamma-alphax ),( 3 , 0 , 1-2x ) | *1/|A| $
$ z= $ $ | ( -1 , 5alpha-x , 3 ),( 0 , 2gamma-alphax , 1 ),( beta , 1-2x , 0 ) | *1/|A| $
$ t= $ $| ( -1 , 0 , 5alpha-x ),( 0 , 1 , 2gamma-alphax ),( beta , 3 , 1-2x ) | *1/|A| $
Poi studio la matrice al variare di $ beta $ (con $ alpha=1 $) e vedo che $ beta !=1 $ $ rg(A)=rg(A|B)=3 $ con $ oo ^(4-3=1) $ soluzioni.
Così procedo sempre con Cramer per trovarne le soluzioni. Io farei così...ma non mi sembra quadri molto
se sicura che $ y=| ( 0 , 3 , 5alpha-x ),( 1 , 1 , 2gamma-alphax ),( 3 , 0 , 1-2x ) | *1/|A| $ ?? E poi, che intendi per
"Sossella":
...ma non mi sembra quadri molto
Saluti[/quote]
No, hai ragione, va scritta così:
$ y=| ( 5alpha-x , 0 , 3 ),( 2gamma-alphax , 1 , 1 ),( 1-2x , 3 , 0 ) | *1/|A| $
Alla fine le soluzioni sono in funzione di x al variare dei parametri $ alpha, gamma, beta $
Cioè mi sembra un procedimento lunghissimo per arrivare a studiare tutto il sistema.
Ma una volta studiato $ alpha $ così, passare a $ beta $ e $ gamma $ è la stessa cosa giusto?
@Sossella,
le soluzioni saranno in funzione di \( x\) al variare dei parametri \( \alpha, \beta, \gamma \) con \( \alpha \neq 1 \)
Si può darsi, sarà lungo ma è quello che mi sembra più deduttivo.. il mio docente di algebra lineare (V. Pipitone) diceva sempre "in algebra lineare vi sono moolti calcoli ma bisogna essere tolleranti e pazienti"...
Saluti
"Sossella":
No, hai ragione, va scritta così:
$ y=| ( 5alpha-x , 0 , 3 ),( 2gamma-alphax , 1 , 1 ),( 1-2x , 3 , 0 ) | *1/|A| $
Alla fine le soluzioni sono in funzione di x al variare dei parametri $ alpha, gamma, beta $
Cioè mi sembra un procedimento lunghissimo per arrivare a studiare tutto il sistema.
Ma una volta studiato $ alpha $ così, passare a $ beta $ e $ gamma $ è la stessa cosa giusto?
le soluzioni saranno in funzione di \( x\) al variare dei parametri \( \alpha, \beta, \gamma \) con \( \alpha \neq 1 \)
Si può darsi, sarà lungo ma è quello che mi sembra più deduttivo.. il mio docente di algebra lineare (V. Pipitone) diceva sempre "in algebra lineare vi sono moolti calcoli ma bisogna essere tolleranti e pazienti"...
Saluti
"garnak.olegovitc":
@Sossella,
[quote="Sossella"]
No, hai ragione, va scritta così:
$ y=| ( 5alpha-x , 0 , 3 ),( 2gamma-alphax , 1 , 1 ),( 1-2x , 3 , 0 ) | *1/|A| $
Alla fine le soluzioni sono in funzione di x al variare dei parametri $ alpha, gamma, beta $
Cioè mi sembra un procedimento lunghissimo per arrivare a studiare tutto il sistema.
Ma una volta studiato $ alpha $ così, passare a $ beta $ e $ gamma $ è la stessa cosa giusto?
le soluzioni saranno in funzione di \( x\) al variare dei parametri \( \alpha, \beta, \gamma \) con \( \alpha \neq 1 \)
Si può darsi, sarà lungo ma è quello che mi sembra più deduttivo.. il mio docente di algebra lineare (V. Pipitone) diceva sempre "in algebra lineare vi sono moolti calcoli ma bisogna essere tolleranti e pazienti"...
Saluti[/quote]
Lo terrò bene a mente allora
Ti ringrazio per la pazienza che mi hai dedicato, ma alla fine ho capito
Grazie ancora!
@Sossella,
di nulla... !
Saluti
"Sossella":
Lo terrò bene a mente allora
Ti ringrazio per la pazienza che mi hai dedicato, ma alla fine ho capito
di nulla... !
Saluti
Buongiorno,
avrei una domanda. Perchè non si utilizza il metodo di Gauss direttamente per trovare il rango di una matrice? Intendo dire, quando diventano un po' grosse, se non ci sono casi particolari, calcolare il determinante delle sottomatrici può essere molto lungo.. Perchè non applicare direttamente l'algoritmo molto meccanicamente e guardare i gradini?
avrei una domanda. Perchè non si utilizza il metodo di Gauss direttamente per trovare il rango di una matrice? Intendo dire, quando diventano un po' grosse, se non ci sono casi particolari, calcolare il determinante delle sottomatrici può essere molto lungo.. Perchè non applicare direttamente l'algoritmo molto meccanicamente e guardare i gradini?
@momo1,
puoi fare come credi più opportuno...ci sono tanti metodi
puoi fare come credi più opportuno...ci sono tanti metodi
"momo1":
Buongiorno,
avrei una domanda. Perchè non si utilizza il metodo di Gauss direttamente per trovare il rango di una matrice? Intendo dire, quando diventano un po' grosse, se non ci sono casi particolari, calcolare il determinante delle sottomatrici può essere molto lungo.. Perchè non applicare direttamente l'algoritmo molto meccanicamente e guardare i gradini?
Infatti è quello che si fa in pratica. Sicuramente per \(\displaystyle n>4 \).
Ok, vi ringrazio, non ho trovato però una dimostrazione del perchè il rango della matrice ridotta è uguale a quello della completa.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo