Gruppo fondamentale e retrazioni

[process11]

ho tre domande:
1) il gruppo fondamentale del toro e del toro meno un punto(o di qualunque altra superficie compatta rappresentabile come quoziente di un poligono con numero pari di lati) è lo stesso??? chiedo questo perchè utilizzando il teorema di van kampen gli aperti da prendere sono gli stessi...
2)dovendo calcolare il gruppo fondamentale del toro meno tre punti usando van kampfen come devo prendere gli aperti perchè sia ben definita la retrazione???
mi spiego: se devo calcolare il gruppo fondamentale del toro meno due punti non posso prendere come aperto il toro meno due punti, ma devo prendere il toro meno il segmento che li unisce...e se tolgo tre o più punti come funziona?
3)perchè il bordo di un $X=$toro non è retratto di esso? di solito qua si prendono i gruppi fondamentali
$pi({auub})->pi(X)->pi(auub)$ e deve risultare che $i_star:pi(auub)->pi(X)$iniettivo e $r_star:pi(X)->pi(auub)$ suriettivo...
ora
$pi({auub})= $ (O è l'insieme vuoto)
$pi(X)=$
non capisco perchè $i_star$ non sia iniettiva...
grazie in anticipo

[Sigma11]

Per rispondere alla prima domanda, il toro e il toro meno un punto non hanno lo stesso gruppo fondamentale. Il gruppo fondamentale del toro meno un punto è \( \mathbb{Z} \star \mathbb{Z}\) mentre il gruppo fondamentale del toro è \( \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}\) dove con la stella intendo il prodotto libero. Oltretutto puoi anche risparmiarti Van Kampen nel primo caso,se conosci i gruppi fondamentali dei bouquet di n-circonferenze, mostrando che esiste un retratto di deformazione costituito dal bordo (ovvero il bouquet di due circonferenze). Questo (se non ho capito male) risolve anche il problema posto alla domanda (3) perché il prodotto libero di due gruppi è molto più ''grande''.
Per dimostrarlo rigorosamente magari puoi far vedere che il Ker non è banale...visto che nel primo gruppo non ci sono relazioni, \( aba^{-1}b^{-1} \neq 1 \) mentre quando usi l'inclusione va in 1, correggimi se sbaglio .
Per la domanda (2) c'è una discussione sul forum di Matematicamente ''Esercizi sul gruppo fondamentale'' che penso dovrebbe risolvere i tuoi dubbi ^^.

[process11]

ok, quindi il bordo del poligono è un retratto di deformazione del toro meno un punto.quindi "espandendo il buco sul bordo" abbiamo due spazi omotopi che quindi hanno lo stesso gruppo fondamentale...e questo vale per ogni poligono con un numero pari di lati, o anche se ci fosse un pentagono meno un punto?
per il punto 3 ho capito e tutto ok
per il punto 2 ho dato un'occhiata, però volevo farlo van kampen prendendo esplicitamente gli aperti $U$, $V$, $U nn V$
$U$ lo posso prendere come $T-{a,b}$ e mi si retrae su tre circonferenze...e l'altro aperto che ho difficoltà a prendere...
essendo agli inizi ho un pò di difficoltà grazie