Gruppo fondamentale e dipendenza topologica
Avrei un piccolo dubbio.
Il gruppo fondamentale di un insieme (connesso per archi) $X$ è legato alla scelta della topologia sull'insieme $X$?
Secondo me sì, poiché scegliendo per esempio una topologia discreta su $X$, ho che tutte le funzioni saranno continue. E quindi ogni curva chiusa in $X$ sarà sempre omotopa all'identità. Da cui segue che scegliendo una topologia discreta su $X$, il relativo gruppo fondamentale sarà sempre banale.
Ehm...è giusto?
Il gruppo fondamentale di un insieme (connesso per archi) $X$ è legato alla scelta della topologia sull'insieme $X$?
Secondo me sì, poiché scegliendo per esempio una topologia discreta su $X$, ho che tutte le funzioni saranno continue. E quindi ogni curva chiusa in $X$ sarà sempre omotopa all'identità. Da cui segue che scegliendo una topologia discreta su $X$, il relativo gruppo fondamentale sarà sempre banale.
Ehm...è giusto?
Risposte
"pat87":
Avrei un piccolo dubbio.
Il gruppo fondamentale di un insieme (connesso per archi) $X$ è legato alla scelta della topologia sull'insieme $X$?
Secondo me sì,
...
Ehm...è giusto?
Certo che è giusto. E ci mancherebbe che non dipendesse dalla topologia!
Anzi, dipende a tal punto che questa frase tua:
Il gruppo fondamentale di un insieme (connesso per archi)
è una sciocchezza.
Io non ho mai visto insiemi connessi per archi.
Premettendo che so definizioni in inglese, tedesco e in italiano e quindi posso fare un po' di confusione 
Ehm, che c'è che non va in quello che ho detto? Dovrei dire "spazio topologico"?
Ehm, che c'è che non va in quello che ho detto? Dovrei dire "spazio topologico"?
"pat87":Ja, sir.
Dovrei dire "spazio topologico"?
"Fioravante Patrone":Ja, sir.[/quote]
[quote="pat87"]Dovrei dire "spazio topologico"?
Beh sarebbe stato appropriato anche un "Da, tovarishch".
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