Gruppo fondamentale di un quoziente di $\CC^\star$
Devo calcolare il gruppo fondamentale dello spazio quoziente $\CC^\star$$/$$\sim$, dove
$\CC^\star=\CC$ \ $\{0\}$ ,
$z\sim w \Leftrightarrow w=z\ o\ w=-\bar{z}$ .
Sostanzialmente sto identificando sul piano i punti simmetrici rispetto all'origine.
Ciò che mi viene in mente è la definizione del proiettivo...
E' corretto affermare che, siccome $\CC^\star$ è omotopicamente equivalente alla ciroconferenza $S^1$, allora $\CC^\star$$/$$\sim$ è omotopicamente equivalente a $S^1$$/$$\sim$, che a sua volta è omeomorfo alla retta proiettiva $P^1(\RR)$ ?
Da qui ne dedurrei che il gruppo fondamentale di $\CC^\star$$/$$\sim$ è isomorfo a $\ZZ$ .
$\CC^\star=\CC$ \ $\{0\}$ ,
$z\sim w \Leftrightarrow w=z\ o\ w=-\bar{z}$ .
Sostanzialmente sto identificando sul piano i punti simmetrici rispetto all'origine.
Ciò che mi viene in mente è la definizione del proiettivo...
E' corretto affermare che, siccome $\CC^\star$ è omotopicamente equivalente alla ciroconferenza $S^1$, allora $\CC^\star$$/$$\sim$ è omotopicamente equivalente a $S^1$$/$$\sim$, che a sua volta è omeomorfo alla retta proiettiva $P^1(\RR)$ ?
Da qui ne dedurrei che il gruppo fondamentale di $\CC^\star$$/$$\sim$ è isomorfo a $\ZZ$ .
Risposte
Scusate, ho sbagliato tutto: la mappa $z\mapsto\-bar z$ non è la simmetria rispetto all'origine, ma rispetto all'asse y.
A questo punto direi che $\CC^\star$$/$$\sim$ è omeomorfo a un semipiano e quindi è semplicemente connesso.
A questo punto direi che $\CC^\star$$/$$\sim$ è omeomorfo a un semipiano e quindi è semplicemente connesso.
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