Gruppo fondamentale di un complesso simpliciale
Salve a tutti, ho da poco iniziato a studiare Topologia e Topologia Algebrica. Durante l'esame il prof chiede sempre di calcolare il gruppo fondamentale di complesso simpliciale che disegna alla lavagna, qualcuno riesce a riassumermi le idee (o gli "algoritmi") necessarie per affrontare questo tipo di esercizi? Sono a conoscenza di teoremi (Van Kampen ad esempio) e definizioni, ma faccio fatica ad applicarli/e. Grazie
Risposte
In particolare vorrei un aiuto per risolvere questo esercizio: calcolare il gruppo fondamentale della figura formata da due circonferenze tangenti in un punto e dalla linea tangente comune alle due in tale punto.
Due metodi che funzionano spesso sono:
- applicare in modo furbo il teorema di Van Kampen, anche più di una volta: di solito l'idea è di "isolare le componenti" e/o "tappare i buchi", e a volte è un po' più facile trovare due chiusi disgiunti per poi prendere i loro complementari. Nell'esercizio che hai proposto, potresti prendere le due circonferenze da una parte e la retta dall'altra (aggiungendo a entrambi i sottospazi un piccolo intorno del punto di tangenza in modo che risultino aperti);
- cercare una retrazione che semplifichi il problema: nel tuo esercizio, questo dovrebbe permetterti di eliminare la retta (o meglio, ridurla a un punto).
Se pensi che ti possa essere utile, potresti provare nei seguenti casi:
a) tre circonferenze a due a due tangenti, ma non tutte nello stesso punto;
b) complementare in $RR^3$ di $n$ semirette che partono dall'origine;
c) unione di tutti gli spigoli di un cubo e di una sua faccia;
d) complementare in $RR^3$ di due circonferenze e di una retta che le "attraversa" entrambe;
e) complementare in $RR^3$ di un nodo a trifoglio (questo potrebbe essere difficile, almeno se si utilizzano solo questi due strumenti: secondo me è improbabile che venga chiesto a un esame, ma può essere comunque istruttivo).
- applicare in modo furbo il teorema di Van Kampen, anche più di una volta: di solito l'idea è di "isolare le componenti" e/o "tappare i buchi", e a volte è un po' più facile trovare due chiusi disgiunti per poi prendere i loro complementari. Nell'esercizio che hai proposto, potresti prendere le due circonferenze da una parte e la retta dall'altra (aggiungendo a entrambi i sottospazi un piccolo intorno del punto di tangenza in modo che risultino aperti);
- cercare una retrazione che semplifichi il problema: nel tuo esercizio, questo dovrebbe permetterti di eliminare la retta (o meglio, ridurla a un punto).
Se pensi che ti possa essere utile, potresti provare nei seguenti casi:
a) tre circonferenze a due a due tangenti, ma non tutte nello stesso punto;
b) complementare in $RR^3$ di $n$ semirette che partono dall'origine;
c) unione di tutti gli spigoli di un cubo e di una sua faccia;
d) complementare in $RR^3$ di due circonferenze e di una retta che le "attraversa" entrambe;
e) complementare in $RR^3$ di un nodo a trifoglio (questo potrebbe essere difficile, almeno se si utilizzano solo questi due strumenti: secondo me è improbabile che venga chiesto a un esame, ma può essere comunque istruttivo).
Per l'esercizio che ho proposto, tramite retrazione riduco la retta a un punto, poichè l'intersezione dei spazi (coppia di circonferenze e retta) è semplicemente connessa segue da Van Kampen che il gruppo fondamentale dell'intero spazio coincide con quella della coppia di circonferenze, ovvero $Z * Z$?? Dove il puntino indica il prodotto libero.
Esatto 
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