Gruppo fondamentale della sfera unita a raggi distinti
Dovrei calcolarmi il gruppo fondamentale di [tex]\mathbb S^2 \cup r_1 \cup ... \cup r_n[/tex] con [tex]r_1,...,r_n[/tex] raggi distinti della sfera.
Io tentato qualche triangolazione che mi potesse portare alle ipotesi del teorema di Seifert-Van Kampen ma ogni volta trovo intersezioni non connesse per archi (che mi impediscono l'uso del teorema).
Sapreste darmi un'indicazione?
Io tentato qualche triangolazione che mi potesse portare alle ipotesi del teorema di Seifert-Van Kampen ma ogni volta trovo intersezioni non connesse per archi (che mi impediscono l'uso del teorema).
Sapreste darmi un'indicazione?
Risposte
Ho l'impressione che il gruppo fondamentale del tuo spazio sia lo stesso di uno spazio formato da due punti "collegati" da $n$ curve distinte...
Sì, nel frattempo ho raggiunto il medesimo risultato anche se non sono sicuro del corretto formalismo del mio ragionamento 
Grazie della conferma.
Grazie della conferma.
In effetti il ragionamento è abbastanza difficile da formalizzare. Che ne dici del mio? Eccolo qua...
La mia idea era usare il teorema di Seifert-Van Kampen nel seguente modo:
Prendo $U$ come tutto lo spazio topologico $X=S^2\cup r_1\cup...\cup r_n$ da cui togli un pezzo di chiuso di superficie sferica (che posso sempre pensare come l'intersezione di $X$ con una palla chiusa di centro $x_0\in X$ opportunamente piccola) che non contiene estremi di raggi.
Tutto questo aperto $U$ può essere deformato allo spazio formato da due punti "collegati" da $n$ curve. Per fare ciò si può prendere per esempio la proiezione stereografica fatta a partire da $x_0$. Quello che ti resta è un pezzo di piano da cui partono $n$ curve che convergono nel centro della sfera. Deformi il piano fino a ridurlo ad un punto e ottieni l'asserto.
L'altro aperto, invece, lo prendi come $V=X\setminus{C}$ (dove $C$ è il centro della sfera). Evidentemente $V$ ha lo stesso gruppo fondamentale di $S^2$, ovvero è semplicemente connesso.
Inoltre, $U\cap V$ è un pezzo semplicemente connesso di superficie sferica.
Usando il teorema di Seifert-Van Kampen dovresti ottenere quello che avevamo annunciato...
Spero di essermi spiegato bene
La mia idea era usare il teorema di Seifert-Van Kampen nel seguente modo:
Prendo $U$ come tutto lo spazio topologico $X=S^2\cup r_1\cup...\cup r_n$ da cui togli un pezzo di chiuso di superficie sferica (che posso sempre pensare come l'intersezione di $X$ con una palla chiusa di centro $x_0\in X$ opportunamente piccola) che non contiene estremi di raggi.
Tutto questo aperto $U$ può essere deformato allo spazio formato da due punti "collegati" da $n$ curve. Per fare ciò si può prendere per esempio la proiezione stereografica fatta a partire da $x_0$. Quello che ti resta è un pezzo di piano da cui partono $n$ curve che convergono nel centro della sfera. Deformi il piano fino a ridurlo ad un punto e ottieni l'asserto.
L'altro aperto, invece, lo prendi come $V=X\setminus{C}$ (dove $C$ è il centro della sfera). Evidentemente $V$ ha lo stesso gruppo fondamentale di $S^2$, ovvero è semplicemente connesso.
Inoltre, $U\cap V$ è un pezzo semplicemente connesso di superficie sferica.
Usando il teorema di Seifert-Van Kampen dovresti ottenere quello che avevamo annunciato...
Spero di essermi spiegato bene
Ho capito la tua dimostrazione. Volevo chiederti se per caso anche la mia può essere considerata valida. Nella tua tu cerchi di modellare [tex]X[/tex] per raggiungere [tex]U[/tex] in modo omeomorfo (infatti fai un "buco" alla sfera). Io invece trattavo direttamente dal punto di vista omotopico.
Sostanzialmente consideravo che, essendo [tex]S^2[/tex] semplicemente connessa, ogni cammino su di essa con estremi fissati può essere deformata a piacimento. Quindi ho considerato un punto [tex]x_0\in S^2[/tex] e l'ho collegato con un cammino [tex]\omega_i[/tex] ad ogni punto di intersezione tra la sfera ed i raggi (ho supposto che [tex]x_0[/tex] non sia uno di tali punti) in modo che questi cammini non si intersechino. A questo punto ho osservato che ogni generico cappio su [tex]X[/tex] può essere ricondotto ad un cappio basato su [tex]x_0[/tex] (grazie alla connessione per archi di [tex]X[/tex]) e inoltre ognuno di tali cappi può essere modellato omotopicamente in modo da essere il prodotto (in modo opportuno) di cammini [tex]\omega_i[/tex] (definiti in precedenza) e [tex]\gamma_i[/tex] (cammini che percorrono il raggio [tex]r_i[/tex] dal centro all'intersezione con la sfera). Quindi sono giunto alla conclusione che ogni cammino su [tex]X[/tex] è omotopo ad un cammino su questo spazio composto da due punti connessi da [tex]n[/tex] cammini. A questo punto mi sono fermato perchè non sono riuscito a trovarne il gruppo fondamentale (se non con ragionamenti euristici su come deve percorrere le curve un cappio di tale spazio)
Sapresti dirmi se è corretto?
Sostanzialmente consideravo che, essendo [tex]S^2[/tex] semplicemente connessa, ogni cammino su di essa con estremi fissati può essere deformata a piacimento. Quindi ho considerato un punto [tex]x_0\in S^2[/tex] e l'ho collegato con un cammino [tex]\omega_i[/tex] ad ogni punto di intersezione tra la sfera ed i raggi (ho supposto che [tex]x_0[/tex] non sia uno di tali punti) in modo che questi cammini non si intersechino. A questo punto ho osservato che ogni generico cappio su [tex]X[/tex] può essere ricondotto ad un cappio basato su [tex]x_0[/tex] (grazie alla connessione per archi di [tex]X[/tex]) e inoltre ognuno di tali cappi può essere modellato omotopicamente in modo da essere il prodotto (in modo opportuno) di cammini [tex]\omega_i[/tex] (definiti in precedenza) e [tex]\gamma_i[/tex] (cammini che percorrono il raggio [tex]r_i[/tex] dal centro all'intersezione con la sfera). Quindi sono giunto alla conclusione che ogni cammino su [tex]X[/tex] è omotopo ad un cammino su questo spazio composto da due punti connessi da [tex]n[/tex] cammini. A questo punto mi sono fermato perchè non sono riuscito a trovarne il gruppo fondamentale (se non con ragionamenti euristici su come deve percorrere le curve un cappio di tale spazio)
Sapresti dirmi se è corretto?
Sì, il ragionamento è giusto, anche se non saprei come formalizzarlo.
Beh, ma il gruppo fondamentale di uno spazio formato da due punti collegati da [tex]n[/tex] curve non dovrebbe essere complicatissimo da trovare.
Secondo me, ottieni il gruppo libero generato da [tex]n-1[/tex] elementi...
"Injo":
Quindi sono giunto alla conclusione che ogni cammino su [tex]X[/tex] è omotopo ad un cammino su questo spazio composto da due punti connessi da [tex]n[/tex] cammini. A questo punto mi sono fermato perchè non sono riuscito a trovarne il gruppo fondamentale (se non con ragionamenti euristici su come deve percorrere le curve un cappio di tale spazio)
Beh, ma il gruppo fondamentale di uno spazio formato da due punti collegati da [tex]n[/tex] curve non dovrebbe essere complicatissimo da trovare.
Secondo me, ottieni il gruppo libero generato da [tex]n-1[/tex] elementi...
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