Gruppo fondamentale della circonferenza

[squalllionheart]

Stavo vedendo la dimostrazione di come si calcola il gruppo fondamentale della circonferenza. Il mio professore l'ha dimostrato dicendo $RR/ZZ$ ha come gruppo fondamentale $ZZ$ dato che $RR$ è semplicemente connesso e $RR/ZZ$ è un rivestimento poichè $ZZ$ agisce attraverso un azione propriamente discontinua. Ora dovrei dimostrare che $S^1$ è omeomorfo a $RR/ZZ$ ma c'è qualcosa che non mi torna. Non si può fare qualcosa di diretto utilizzando il rivestimento da $RR$ in $S^1$ del tipo $t-> e^(2ipit)$.
Mi piacerebbe vedero in entrambi i casi. Grazie.

[miuemia]

e quel qualcosa che dici di utilizzare $RR$ come rivestimento universale di $S^1$ è propiro quello che ha deto il tuo prof.
per dimostrare che $S^1$ è omeomorfo a $RR/ZZ$ pensa a seno e coseno....

[ciampax]

Oppure pensa alla applicazione che hai scritto (che è la stessa cosa!)

[squalllionheart]

Come gruppi si vede $ZZ$ come il nucleo dell'applicazione dunque $RR/ZZ$ isomorfo a $S^1$ ma come spazi topologici si risolve allo stesso modo? O devo vedere prima l'omeomorfismo tra $RR/ZZ$ e $[0,1)$ e dunque poi su $S^1$.

[NightKnight1]

"squalllionheart":omeomorfismo tra $RR/ZZ$ e $[0,1)$

Attenzione! i due spazi sopra non sono omeomorfi!!!

[squalllionheart]

L'omeomorfismo tra $RR/ZZ$ e $S^1$?