Gruppo fondamentale del piano proiettivo meno due punti

[NightKnight1]

Calcolare il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale meno due punti.

Se tolgo un punto solo lo so fare:
infatti se tolgo il punto $P_0 = [1,0,0]$ posso deformare $P^2(RR) - \{ P_0 \}$ sulla retta proiettiva $H_0 = \{ [0,x_1,x_2] \in P^2(RR) \}$:
$(P^2(RR) - \{ P_0 \}) times [0,1] -> P^2(RR) - \{ P_0 \}$
$([x_0,x_1,x_2],t) |-> [(1-t),x_1,x_2]$
E quindi $P^2(RR) - \{ P_0 \}$ è omotopicamente equivalente alla retta proiettiva $H_0$ che è omeomorfa a $P^1(RR)$ e quindi ha come gruppo fondamentale $ZZ$.

Qualcuno ha qualche idea se tolgo due punti?
Ho il sospetto, tramite un ragionamento molto intuitivo e per niente rigoroso, che il gruppo fondamentale sia isomorfo a $ < a,b,c | c^2 = ab >$.

[rubik2]

Lo puoi dimostrare con Seifert-Van Kampen:
il piano proiettivo reale meno due punti lo puoi vedere come un cerchio con identificazione al bordo meno due punti, lo dividi in due aperti una corona esterna $A$ ed un cerchio al centro $B$ che si intersecano in un ulteriore corona $C$: il gruppo fondamentale verrà il prodotto libero dei gruppi di $A$ e $B$ modulo le relazioni indotte dall'identificazione nell'intersezione.

$A$ è uguale al piano proiettivo meno un punto quindi ha gruppo fondamentale $ZZ=< c >$
$B$ ha gruppo fondamentale $ZZ ** ZZ=$
$C$ ha gruppo $ZZ$ il generatore di $pi(C)$ visto in $A$ è $c^2$, visto in $B$ è $ab$ quindi ottieni la relazione $c^2=ab$

quindi si ottiene il gruppo che dicevi te $$

immagino che non sia molto chiaro, dimmi te, potrei farti un disegno ma ora non ho tempo.

[NightKnight1]

"rubik":$C$ ha gruppo $ZZ$ il generatore di $pi(C)$ visto in $A$ è $c^2$

E' esattamente quello che avevo pensato io!!
Solo che mi chiedevo se si poteva giustificare in modo migliore che il generatore di $pi_1 (C)$ visto in $pi_1 (A) = $ è $c^2$.
Detto meglio: $A$ è una corona circolare che sulla circonferenza esterna ha i punti identificati secondo l'antipodalità; è giusto pensare al generatore di $pi_1 (A)$ come a una semicirconferenza esterna della corona $C$??

[rubik2]

dovrebbe valere perchè la circonferenza al bordo è un retratto di deformazione (forte) della corona, altrimenti si può fare considerando la corona un CW-complesso, facendo una decomposizione in celle. ti torna qualcosa?

[NightKnight1]

Non so cosa sia un CW-complesso né una decomposizione in celle; non ho ancora studiato l'omologia!!

Comunque sul fatto che la corona $A$ si deformi sul bordo, sono d'accordo: in effetti togliere un punto o un disco non cambia nulla per l'omotopia e quindi come ho dimostrato nel mio primo intervento $A$ si deforma sulla retta dei punti impropri $H_0$ che è la circonferenza con la relazione di antipodalità. E quindi sono convinto che $pi_1 (A)$ sia isomorfo a $ZZ$; solo che non mi sembra così evidente che il generatore di $pi_1 (A)$ sia un cammino che percorre la semicirconferenza del bordo.

Un'ulteriore domanda: ma $$ è isomorfo a $ZZ star ZZ$, no?

[rubik2]

Prendiamo la definizione di retratto (forte) di deformazione: $A sub X$ è retratto forte di deformarzione se $EE F:X xx I->X$ tale che $F(x,0)=x\quad AA x in X$,$F(x,1) in A\quad AA x in X$ e $F(a,t)=a\quad AA a in A$.

questo è il nostro caso con la circonferenza dentro la corona.

Se $X$ è connesso per archi posso prendere come punto base per il gruppo fondamentale un punto qualunque, lo prendo in $Y$. Sotto queste ipotesi affermo che un laccio in $X$ è sempre omotopo ad un laccio interamente contenuto in $Y$. Sia $f:I->X$ un laccio definisco $G(t,s)=F(f(s),t)$ dove la $F$ è l'omotopia della definizione di retratto valgono:
$G(f(s),0)=f(s)$ e $bar f(s)=G(f(s),1) in A$ la $G$ è una omotopia (che lascia fisso il punto iniziale e finale del laccio) tra $f$ e $bar f$ che è interamente contenuto in A

nel nostro caso questo ci dice che ogni laccio della corona è omotopo ad un laccio interamente contenuto nel bordo. il gruppo fondamentale del bordo è generato da una semicirconferenza e quindi possiamo affermare che il gruppo fondamentale della corona è generato da un semicirconferenza del bordo.

$$ secondo me non è $ZZ ** ZZ$ perchè non riesci ad eliminare il terzo generatore, puoi levare le potenze pari ma ti rimangono sempre $c,c^(-1)$

[NightKnight1]

"rubik":
$$ secondo me non è $ZZ ** ZZ$ perchè non riesci ad eliminare il terzo generatore, puoi levare le potenze pari ma ti rimangono sempre $c,c^(-1)$

Ma io pensavo di eliminare o $a$ o $b$..

[rubik2]

"NightKnight":[quote="rubik"]
$$ secondo me non è $ZZ ** ZZ$ perchè non riesci ad eliminare il terzo generatore, puoi levare le potenze pari ma ti rimangono sempre $c,c^(-1)$

Ma io pensavo di eliminare o $a$ o $b$..[/quote]

c'hai ragione metti $a=b^(-1)*c^2$ e sei a posto, scusa non c'avevo pensato. il resto ti torna?

[NightKnight1]

Sì, credo di sì..

Comunque penso che si possa generalizzare: il gruppo fondamentale del piano proiettivo reale meno $n$ punti è isomorfo a $$ che è isomorfo a $ZZ ** ... ** ZZ$ (n-volte)..

[rubik2]

si direi che si può generalizzare. comunque se ti può rassicurare di più il kosniowski dimostra il gruppo del piano proiettivo con Seifert-Van Kampen ed usa che la corona ha gruppo fondamentale generato da una semicirconferenza. ciao

[NightKnight1]

Ok! E grazie.. (Quando ho tempo andrò a vedere cosa dice il Kosniowski)