Gruppo fondamentale

[5mrkv]

A space \(X\) is said to be simply connected if it is a path-connected space and if \(\pi_{1}(X,x_{0})\) is the trivial group for some \(x_{0}\in X\), and hence for every \(x_{0}\in X\)

Non capisco come mostrare l'ultima parte eppure se il libro non lo mostra deve essere banale. Dato che lo spazio è connesso per cammini posso definire l'isomorfismo
\begin{split}
\hat{\alpha}:\pi_{1}(X,x_{0})\rightarrow \pi_{1}(X,x_{1}) \\
\hat{\alpha}([f])=[\overline{\alpha}]\ast [f]\ast [\alpha] \\
\end{split}
Dove \(\alpha\) ed il suo inverso collegano \(x_{0}\) ed \(x_{1}\). Se non sbaglio, supponendo la banalità di \(\pi_{1}(X,x_{0})\) dovrei mostrare che per ogni \(f,g\) con estremi in \(x_{1}\) allora \(f\simeq g\) e quindi la classe di equivalenza è unica anche quì. Per mostrarlo vorrei usare l'isomorfismo. Prendendo le classi di equivalenza di \(f,g\) si ha
\begin{split}
\hat{\alpha}&([f])\simeq \hat{\alpha}([g]) \\
\hat{\alpha}&^{-1}\hat{\alpha}([f])=[f] \\
\hat{\alpha}&^{-1}\hat{\alpha}([g])=[g] \\
\end{split}
E poi non saprei come continuare.

[maurer]

Beh, [tex]\hat{\alpha}[/tex] è un isomorfismo di gruppi, quindi se il suo dominio è banale, lo è anche il codominio.

Comunque mi sembra di capire che tu vuoi costruire in qualche modo un'omotopia esplicita. Considera [tex]f \star \overline{g}[/tex]. Allora [tex]\hat{\alpha}^{-1}([f \star \overline{g}]) = [\alpha] \star [f] \star [\overline{g}] \star [\overline{\alpha}] \in \pi_1(X,x_0)[/tex], quindi [tex][\alpha] \star [f] \star [\overline{g}] \star [\overline{\alpha}] = [e_{x_0}][/tex]. Applicando [tex]\hat{\alpha}[/tex] ottieni [tex][\overline{\alpha}] \star [\alpha] \star [f] \star [\overline{g}] \star [\overline{\alpha}] \star [\alpha] = [\overline{\alpha}] \star [\alpha][/tex], ossia [tex][f] \star [\overline{g}] = [e_{x_1}][/tex].

[5mrkv]

Grazie per la risposta e per le formule esplicite! In realtà è sicuramente la prima cosa che hai detto che il libro si aspettava che io cogliessi al volo. Solo che non ci sono arrivato

[maurer]

farai l'abitudine a queste cose. Su che testo studi?

[5mrkv]

Sto usando il Munkres, Topology. Ho studiato il nucleo della prima parte e adesso sto studiando il capitolo 13, The Foundamental group per un assaggio di Topologia Algebrica. Lo trovo un gran bel libro. Nel senso che ci sono tanti lemmi e non sono difficili, quindi a volte si riesce a mostrarli da solo e a volte li si lascia indietro da concludere quando più si ha voglia. Così si capiscono le cose meglio e con minor sforzo.

Prima di questo avevo provato con Schwarz, Topology for Physicists solo che non mi è piaciuto e l'ho abbandonato prestissimo. Ho iniziato i primi capitoli del Tu, Introduction to Manifolds come trampolino verso Bott, Tu, Differential forms in algebraic topology, indicato assieme al Munkres nella bibliografia di Schwarz.

Vorrei concludere Fisica nella sessione di questo inverno poi... beh, ho delle tentazioni

[maurer]

Approvo la tua scelta. Anch'io apprezzo moltissimo il libro di Munkres. Tuttavia, ti consiglio anche l'Hatcher, Algebraic Topology (capitolo I, mi sembra). E' fatto davvero bene, e ha anche parecchi esercizi "geometrici" che forse mancano un po' sul Munkres...

[5mrkv]

Grazie. Lo terrò in considerazione.