Gruppo additivo (Q/Z,+)
devo provare che :
$<3/5 + Z,5/8 + Z> = <1/40 +Z>$
In questo caso pensavo di usare la doppia inclusione,ma non mi è chiaro come sono fatti gli elementi di questi due sottoinsiemi.
Posso scrivere che : $<1/40 + Z>={0,1,1/2,....,1/39}$ ??
dove considero gli elementi dell'insieme classi resto modulo $1/40$...
é giusto così? E il sottogruppo generato da $<3/5 + Z,5/8 + Z>$ è l'intersezione dei sottogruppi che i due elementi generano no?? cioè
mi sembra chiaro che alla fine genereranno tutti gli elementi mod $1/40$.
grazie pe reventuali chiarimenti.
ciao Chai
$<3/5 + Z,5/8 + Z> = <1/40 +Z>$
In questo caso pensavo di usare la doppia inclusione,ma non mi è chiaro come sono fatti gli elementi di questi due sottoinsiemi.
Posso scrivere che : $<1/40 + Z>={0,1,1/2,....,1/39}$ ??
dove considero gli elementi dell'insieme classi resto modulo $1/40$...
é giusto così? E il sottogruppo generato da $<3/5 + Z,5/8 + Z>$ è l'intersezione dei sottogruppi che i due elementi generano no?? cioè
mi sembra chiaro che alla fine genereranno tutti gli elementi mod $1/40$.
grazie pe reventuali chiarimenti.
ciao Chai
Risposte
Anche io farei per doppia inclusione, ma senza esplicitare i due gruppi:
$3/5 + ZZ = 24/40 + ZZ = 24\cdot1/40 + ZZ \in <1/40 + ZZ>$ e
$5/8 + Z = 25/40 + ZZ = 25\cdot1/40 + ZZ \in <1/40 + ZZ>$
Dalle due equazioni sopra hai che $<3/5 + ZZ, 5/8 + ZZ> \sube <1/40 + ZZ>$
Viceversa, $1/40 + ZZ = 5/8 + ZZ - 3/5 + ZZ \in <3/5 + ZZ, 5/8 + ZZ>$ quindi $<1/40 + ZZ> \sube<3/5 + ZZ, 5/8 + ZZ> $.
Gli elementi di $<1/40 + Z>$ sono classi laterali non numeri, e visto che $1/40$ ha ordine 40 saranno gli elementi ${k/(40) + ZZ | k \in Z} = {k/(40) + ZZ | k \in Z, 0<=k<=39}$
Il sottogruppo generato da quei due non coincide con l'intersezione dei sottogruppi ma con il gruppo "somma", ovvero sono gli elementi della forma $(24k_1)/40 + ZZ + (25k_2)/40 + ZZ = (24k_1 + 25k_2)/40$ t.c. $k_1, k_2 \in ZZ$
$3/5 + ZZ = 24/40 + ZZ = 24\cdot1/40 + ZZ \in <1/40 + ZZ>$ e
$5/8 + Z = 25/40 + ZZ = 25\cdot1/40 + ZZ \in <1/40 + ZZ>$
Dalle due equazioni sopra hai che $<3/5 + ZZ, 5/8 + ZZ> \sube <1/40 + ZZ>$
Viceversa, $1/40 + ZZ = 5/8 + ZZ - 3/5 + ZZ \in <3/5 + ZZ, 5/8 + ZZ>$ quindi $<1/40 + ZZ> \sube<3/5 + ZZ, 5/8 + ZZ> $.
"waind":
Posso scrivere che : $<1/40 + Z>={0,1,1/2,....,1/39}$ ??
Gli elementi di $<1/40 + Z>$ sono classi laterali non numeri, e visto che $1/40$ ha ordine 40 saranno gli elementi ${k/(40) + ZZ | k \in Z} = {k/(40) + ZZ | k \in Z, 0<=k<=39}$
"waind":
E il sottogruppo generato da $<3/5 + Z,5/8 + Z>$ è l'intersezione dei sottogruppi che i due elementi generano no?
Il sottogruppo generato da quei due non coincide con l'intersezione dei sottogruppi ma con il gruppo "somma", ovvero sono gli elementi della forma $(24k_1)/40 + ZZ + (25k_2)/40 + ZZ = (24k_1 + 25k_2)/40$ t.c. $k_1, k_2 \in ZZ$
Un elemento qualsiasi di quel gruppo è $(3n)/5 + (5m)/8 + ZZ = (24n+25m)/40 + ZZ$ e ora usi l'identità di Bezout...
Grazie Mirko.Ottima dimostrazione,Avevo proprio travisato l'interpretazione di $<1/40 +Z>$ come insieme di classi laterali..
thanks anche a vict85 ^_^
thanks anche a vict85 ^_^
Figurati... quell'esercizio me lo ero fatto proprio il giorno prima che lo postassi per conto mio mentre mi rivedevo gli esoneri vecchi 
In generale se $a,b,c,d \in ZZ$ allora $< a/b + ZZ , c/d + ZZ > \ = \ < \frac{MCD(ad,bc)}{bd} + ZZ >$
Applicando ripetutamente questo ragionamento si prova che ogni sottogruppo finitamente generato di $QQ/ZZ$ è ciclico.
(Osservazione che non c'entra nulla: $QQ/ZZ$ contiene una copia isomorfa di ogni gruppo ciclico finito)
Applicando ripetutamente questo ragionamento si prova che ogni sottogruppo finitamente generato di $QQ/ZZ$ è ciclico.
(Osservazione che non c'entra nulla: $QQ/ZZ$ contiene una copia isomorfa di ogni gruppo ciclico finito)
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