Gruppi topologici localmente compatti
Finalmente sono arrivato al punto che tutti sognano: LAUREARSI!
Ho deciso di scrivere una tesi sulla Misura di Haar le cui applicazioni riguardano appunto i gruppi topologici localmente compatti. Il docente mi ha refilato un libro in cui le dimostrazioni non si dilungano per più di qualche riga e avrei bisogno di rimpolparle un po' sia per capirle in modo impeccabile, sia per chiarezza espositiva. Volevo quindi usare questo thread per farmi aiutare in questo mio lavoro.
Comincio con una piccola introduzione:
Definizione: Un gruppo topologico $G$ è un gruppo $G$ munito di una topologia rispetto alla quale le operazioni di gruppo (solitamente prodotto e inversione) sono continue; cioè la mappa $(x,y)|->x*y$ è continua da $GtimesG$ in $G$ e la mappa $x|->x^(-1)$ è continua da $G$ in $G$
Se $G$ è un gruppo topologico denoteremo con $1$ l'elemento unitario di $G$; inoltre se $A sub G$ e $BsubG$ definiamo:
$Ax:={yx : y in A}$
$xA:={xy:y in A}$
$A^(-1):={y^(-1):y in A}$
$A*B:={xy : x in A, y in B}$
Ovviamente cercheremo di evitare scritture come $A^2$ per indicare $A*A$ perché denoterebbe l'insieme ${x^2 : x in A}$ che in generale è un sottoinsieme di $A*A$. Diremo che $A$ è simmetrico se $A=A^(-1)$.
Questa è la breve introduzione che fa il libro. Ora comincia la parte lasciata al lettore: innanzi tutto mi fa notare che $A nnn B=O/$ se e solo se $1 notin A^(-1)*B$
Io inizierei da qui perché non so come dimostrare questo fatto.
Poi elenca una serie di proprietà degli spazi toplogici:
Proposizione: sia $G$ un gruppo topologico, allora:
Ho deciso di scrivere una tesi sulla Misura di Haar le cui applicazioni riguardano appunto i gruppi topologici localmente compatti. Il docente mi ha refilato un libro in cui le dimostrazioni non si dilungano per più di qualche riga e avrei bisogno di rimpolparle un po' sia per capirle in modo impeccabile, sia per chiarezza espositiva. Volevo quindi usare questo thread per farmi aiutare in questo mio lavoro.
Comincio con una piccola introduzione:
Definizione: Un gruppo topologico $G$ è un gruppo $G$ munito di una topologia rispetto alla quale le operazioni di gruppo (solitamente prodotto e inversione) sono continue; cioè la mappa $(x,y)|->x*y$ è continua da $GtimesG$ in $G$ e la mappa $x|->x^(-1)$ è continua da $G$ in $G$
Se $G$ è un gruppo topologico denoteremo con $1$ l'elemento unitario di $G$; inoltre se $A sub G$ e $BsubG$ definiamo:
$Ax:={yx : y in A}$
$xA:={xy:y in A}$
$A^(-1):={y^(-1):y in A}$
$A*B:={xy : x in A, y in B}$
Ovviamente cercheremo di evitare scritture come $A^2$ per indicare $A*A$ perché denoterebbe l'insieme ${x^2 : x in A}$ che in generale è un sottoinsieme di $A*A$. Diremo che $A$ è simmetrico se $A=A^(-1)$.
Questa è la breve introduzione che fa il libro. Ora comincia la parte lasciata al lettore: innanzi tutto mi fa notare che $A nnn B=O/$ se e solo se $1 notin A^(-1)*B$
Io inizierei da qui perché non so come dimostrare questo fatto.
Poi elenca una serie di proprietà degli spazi toplogici:
Proposizione: sia $G$ un gruppo topologico, allora:
- La topologia di $G$ è invariante per traslazione e inversione, cioè se $U$ è aperto allora lo sono anche $xU$, $Ux$ e $U^(-1)$ per ogni $x in G$. Inoltre se $U$ è aperto, tali sono anche $U*A$ e $A*U$ per ogni $A sub G$.[/list:u:s69ticze]
- Per ogni intorno $U$ di $1$ c'è un intorno simmetrico $V$ di $1$ tale che $V*V sub U$.[/list:u:s69ticze]
- Se $H$ è un sottogruppo di $G$ allora anche $bar(H)$ lo è.[/list:u:s69ticze]
- Ogni sottogruppo aperto di $G$ è chiuso.[/list:u:s69ticze]
- Se $A$ e $B$ sono sottoinsiemi compatti di $G$, anche $A*B$ lo è.[/list:u:s69ticze]
(Non capisco perché non riesco a fare un elenco numerato pur usando la funzione "lista ordinata")
Dimostrazione:
- Il primo asserto è equivalente alla continuità separata della mappa $(x,y)|->x*y$ e alla continuità dell'applicazione $x|->x^(-1)$. Il secondo segue dal fatto che $A*U=uuu_(x in A)xU$ e che $U*A=uuu_(x in A)Ux$[/list:u:s69ticze]
- La continuità di $(x,y)|->x*y$ in $1$ significa che per ogni intorno $U$ di $1$ ci sono due intorni $W_1$ e $W_2$ di $1$ tali che $W_1*W_2 sub U$. Dunque l'insieme $V$ desiderato può essere scelto in $W_1nnnW_2nnnW_1^(-1)nnnW_2^(-1)$[/list:u:s69ticze]
- Se $x,y in bar(H)$ esistono due reti ${x_alpha}$ e ${y_beta}$ in $H$ che convergono a $x$ e $y$. Dunque $x_alphay_beta->xy$ e $x_alpha^(-1)->x^(-1)$ e quindi $xy$ e $x^(-1)$ sono in $bar(H)$[/list:u:s69ticze]
- Se $H$ è aperto, anche i suoi laterali sinistri $xH$ lo sono. L'insieme $G\\H$ è l'unione di questi laterali tranne al più $H$ stesso. Dunque $G\\H$ è aperto e $H$ è chiuso[/list:u:s69ticze]
- $A*B$ è l'immagine dell'insieme compatto $A times B$ mediante l'applicazione continua $(x,y)|->xy$, dunque è compatto.[/list:u:s69ticze]
Vi prego aiutatemi con queste dimostrazioni perché sono in difficoltà.
Risposte
per quanto riguarda la prima proposizione:
se $AnnB!=O/$ sia $y in AnnB \Rightarrow y^(-1) in A^(-1) \Rightarrow 1=y^(-1)*y in A^(-1)*B$
viceversa se $1 in A^(-1)*B$ allora esistono $x in A$ e $y in B$ tali che $x^(-1)*y=1 \Rightarrow y=x \Rightarrow x in AnnB$
qualcos'altro: sia $phi:G->G$ tale che $phi(g)=x^(-1)g$ questa è continua perchè G è un gruppo topologico ( è composizione di $(x,y)->(x^(-1),y)$ e poi di $(x,y)->x*y$)
se $U$ è aperto $phi^(-1)(U)$ è aperto, $phi^(-1)(U)={g in G| x^(-1)*g in U}={g in G| g in xU}=xU$ quindi $xU$ è aperto. $Ux$ si può fare nello stesso modo. $U^(-1)$ è la controimmagine di U tramite $x->x^(-1)$ e quindi è aperto. $A*U$ è unione degli $xU$ al variare di $x in A$, essendo unione di aperti è aperto.
gli altri non so aiutarti almeno per il momento (spero di non aver toppato niente
). ciao
edit: ho postato poco dopo le dimostrazioni, qualcosa di quello che ho scritto sarà inutile probabilmente
se $AnnB!=O/$ sia $y in AnnB \Rightarrow y^(-1) in A^(-1) \Rightarrow 1=y^(-1)*y in A^(-1)*B$
viceversa se $1 in A^(-1)*B$ allora esistono $x in A$ e $y in B$ tali che $x^(-1)*y=1 \Rightarrow y=x \Rightarrow x in AnnB$
qualcos'altro: sia $phi:G->G$ tale che $phi(g)=x^(-1)g$ questa è continua perchè G è un gruppo topologico ( è composizione di $(x,y)->(x^(-1),y)$ e poi di $(x,y)->x*y$)
se $U$ è aperto $phi^(-1)(U)$ è aperto, $phi^(-1)(U)={g in G| x^(-1)*g in U}={g in G| g in xU}=xU$ quindi $xU$ è aperto. $Ux$ si può fare nello stesso modo. $U^(-1)$ è la controimmagine di U tramite $x->x^(-1)$ e quindi è aperto. $A*U$ è unione degli $xU$ al variare di $x in A$, essendo unione di aperti è aperto.
gli altri non so aiutarti almeno per il momento (spero di non aver toppato niente
). ciaoedit: ho postato poco dopo le dimostrazioni, qualcosa di quello che ho scritto sarà inutile probabilmente
Beh, quel che posso dire è che tutto questo non c'è sul libro, ma la tua dimostrazione mi convince proprio!! Ora vedo in modo inequivocabile che se $U$ è aperto anche $xU$ lo è!
Sei stato gentilissimo!
Sei stato gentilissimo!
Allora posso aggiungere qualcosa per la 4: la dimostrazione che i laterali $xH$ sono aperti discende dal primo punto della proposizione; dopodiché non mi è chiaro che l'unione di tutti i laterali formi l'insieme quoziente $G/H$: io so che quando si introduce una relazione di equivalenza si va a formare una partizione dell'insieme iniziale (in questo caso $G$ e non $G/H$) e dunque l'unione degli elementi della partizione mi dà ancora $G$ e non $G/H$ come è invece riportato. In ogni caso anche se così fosse perché non bisogna considerare al più il caso di $H$ stesso? Comunque dato per buono il punto prima mi è chiaro che $G/H$ sia aperto essendo unione di aperti (definizione di topologia), ma proprio non capisco come questo garantisca la chiusura di $H$.
Il 5° mi è chiaro: se non ricordo male infatti le funzioni continue mandano compatti in compatti e quindi la dimostrazione è immediata.
Per la tre invece credo di dover ben capire cos'è una rete (concetto che estende quello di successione), ma non dovrebbe essere impossibile.
Per il 2 vi giuro che non saprei dire assolutamente niente: mi blocco subito infatti io direi che se la mappa $(x,y)|->x*y$ è continua in $1$ significa che per ogni intorno $U$ di $1$ la controimmagine di $U$ è aperta e non ciò che scrive il libro; non parliamo poi di come scegliere $V$ in quella intersezione perché proprio mi sembra piovuta dal cielo.
Ogni consiglio sarà sicuramente ben accetto!
Grazie a tutti!
Il 5° mi è chiaro: se non ricordo male infatti le funzioni continue mandano compatti in compatti e quindi la dimostrazione è immediata.
Per la tre invece credo di dover ben capire cos'è una rete (concetto che estende quello di successione), ma non dovrebbe essere impossibile.
Per il 2 vi giuro che non saprei dire assolutamente niente: mi blocco subito infatti io direi che se la mappa $(x,y)|->x*y$ è continua in $1$ significa che per ogni intorno $U$ di $1$ la controimmagine di $U$ è aperta e non ciò che scrive il libro; non parliamo poi di come scegliere $V$ in quella intersezione perché proprio mi sembra piovuta dal cielo.
Ogni consiglio sarà sicuramente ben accetto!
Grazie a tutti!
"fabry1985mi":
Allora posso aggiungere qualcosa per la 4: la dimostrazione che i laterali $xH$ sono aperti discende dal primo punto della proposizione; dopodiché non mi è chiaro che l'unione di tutti i laterali formi l'insieme quoziente $G/H$: io so che quando si introduce una relazione di equivalenza si va a formare una partizione dell'insieme iniziale (in questo caso $G$ e non $G/H$) e dunque l'unione degli elementi della partizione mi dà ancora $G$ e non $G/H$ come è invece riportato. In ogni caso anche se così fosse perché non bisogna considerare al più il caso di $H$ stesso? Comunque dato per buono il punto prima mi è chiaro che $G/H$ sia aperto essendo unione di aperti (definizione di topologia), ma proprio non capisco come questo garantisca la chiusura di $H$.
Vedila cosi': il complementare di $H$ in $G$ e' l'unione dei laterali $xH$ di $H$ che non sono $H$ (appunto perche' i laterali formano una partizione). Quindi e' aperto perche' unione di aperti.
Per il 2 vi giuro che non saprei dire assolutamente niente: mi blocco subito infatti io direi che se la mappa $(x,y)|->x*y$ è continua in $1$ significa che per ogni intorno $U$ di $1$ la controimmagine di $U$ è aperta e non ciò che scrive il libro; non parliamo poi di come scegliere $V$ in quella intersezione perché proprio mi sembra piovuta dal cielo.
Chiamo $f$ la funzione prodotto $G xx G to G$. La controimmagine di $U$ e' aperta. Quindi per definizione di topologia prodotto (gli insiemi della forma $A xx B$ con $A,B$ aperti in $G$ formano una sottobase!), poiche' tale controimmagine contiene $1=(1,1)$, esiste un aperto della forma $A xx B$ (dove $A,B$ sono aperti di $G$) contenente $1$ e contenuto nella controimmagine. Che sia contenuto nella controimmagine significa che $A*B=f(A xx B) subseteq U$. Ora considera $V=A nn B$ (aperto perche' intersezione finita di aperti). Allora e' ovvio che $V*V subseteq A*B$ e quindi $V*V subseteq U$.
Se vuoi che $V$ sia simmetrico allora puoi scegliere $V=A nn B nn A^{-1} nn B^{-1}$, perche' quest'ultimo e' aperto in quanto intersezione finita di aperti.
Se non ti e' chiaro prova a riguardare il concetto di topologia prodotto.
Per quanto riguarda la tre, non saprei.
"Martino":
Vedila cosi': il complementare di $H$ in $G$ e' l'unione dei laterali $xH$ di $H$ che non sono $H$ (appunto perche' i laterali formano una partizione). Quindi e' aperto perche' unione di aperti.
Ok, questa parte mi risula chiara adesso: avevo infatti fatto confusione tra $G\\H$ e $G/H$ che indicano uno il complementare e l'altro l'insieme quoziente.
"Martino":
Chiamo $f$ la funzione prodotto $G xx G to G$. La controimmagine di $U$ e' aperta.
E fin qui tutto perfetto.
"Martino":
Quindi per definizione di topologia prodotto (gli insiemi della forma $A xx B$ con $A,B$ aperti in $G$ formano una sottobase!), poiche' tale controimmagine contiene $1=(1,1)$, esiste un aperto della forma $A xx B$ (dove $A,B$ sono aperti di $G$) contenente $1$ e contenuto nella controimmagine.
Ma come fa la controimmagine di $1 in G$ a finire per forza in $(1,1) in G xx G$? Potrebbe anche finire in $(x,x^-1)$ e a quel punto non si riesce ad assicurare che questa controimmagine contenga $(1,1)$.
Scusami ma non riesco a capire...
"fabry1985mi":
[quote="Martino"]
Quindi per definizione di topologia prodotto (gli insiemi della forma $A xx B$ con $A,B$ aperti in $G$ formano una sottobase!), poiche' tale controimmagine contiene $1=(1,1)$, esiste un aperto della forma $A xx B$ (dove $A,B$ sono aperti di $G$) contenente $1$ e contenuto nella controimmagine.
Ma come fa la controimmagine di $1 in G$ a finire per forza in $(1,1) in G xx G$? Potrebbe anche finire in $(x,x^-1)$ e a quel punto non si riesce ad assicurare che questa controimmagine contenga $(1,1)$.
Scusami ma non riesco a capire...[/quote]
Forse l'elemento che crea confusione e' il termine "controimmagine".
Data una funzione $g:X to Y$, la controimmagine di un dato sottoinsieme $T$ di $Y$ e' l'insieme degli $x in X$ tali che $f(x) in T$. Sei d'accordo?
Allora e' chiaro che data la nostra $f:G xx G to G$, $(1,1)$ sta nella controimmagine di $1$ (cioe' di ${1}$), e di qualsiasi sottoinsieme di $G$ che contenga $1$, dato che $f(1,1)=1*1=1$.
Adesso ci rifletto un po'...
Comunque la dimostrazione della 3 riesci a farla con il concetto di successione? Il concetto di rete infatti estende quello di successione quindi si possono usare le usuali proprieta' delle successioni.
Comunque la dimostrazione della 3 riesci a farla con il concetto di successione? Il concetto di rete infatti estende quello di successione quindi si possono usare le usuali proprieta' delle successioni.
"fabry1985mi":
Comunque la dimostrazione della 3 riesci a farla con il concetto di successione? Il concetto di rete infatti estende quello di successione quindi si possono usare le usuali proprieta' delle successioni.
Purtroppo non ho mai sentito parlare di reti (forse una volta di sfuggita) e non mi viene in mente una soluzione immediata. Ma ricordo di aver visto fare questo esercizio e forse domani riesco a trovarlo su un file che ho a casa. Nel frattempo spero che ci venga in mente una soluzione, non dovrebbe essere difficile.
Ho pensato di fare così per dimostrare 3 nel caso in cui considero successioni e non reti:
Io so che $x,y in bar(H)$ allora so che esistono due successioni ${x_n}_(n in NN)$ e ${y_n}_(n in NN)$ tali che $x_n->x$ per $n->+oo$ e $y_n->y$ per $n->+oo$ con ${x_n} sub H$ e ${y_n} sub H$; inoltre so che:
$lim_(n->+oo)x_n*y_n=lim_(n->+oo)x_n*lim_(n->+oo)y_n=x*y$
e poiché $x_n in H$ $forall n in NN$ e $y_n in H$ $forall n in NN$ anche $x_n*y_n in H$ $forall n in NN$ (perché $H$ è un gruppo) e dunque $x*y=lim_(n->+oo)x_n*y_n in bar(H)$ (perché potrebbe non stare in $H$, ma certamente starà nella sua chiusura).
Similmente se $x in bar(H)$ esiste $x_n->x$ per $n->+oo$ e dunque $x_n^(-1)->x^(-1)$, ma poiché $x_n in H forall n in NN$ anche $x_n^(-1) in H forall n in NN$ (perché $H$ è un gruppo), quindi $x^(-1)=lim_(n->+oo)x_n^(-1) in bar(H)$ per la stessa ragione di prima
Dunque a questo punto mi sembra conclusa la dimostrazione. Vi convince? O proprio no?
Se questa dimostrazione va bene si può facilmente adattare alle reti perché godono molte delle proprietà delle successioni.
http://it.wikipedia.org/wiki/Rete_(matematica)
Io so che $x,y in bar(H)$ allora so che esistono due successioni ${x_n}_(n in NN)$ e ${y_n}_(n in NN)$ tali che $x_n->x$ per $n->+oo$ e $y_n->y$ per $n->+oo$ con ${x_n} sub H$ e ${y_n} sub H$; inoltre so che:
$lim_(n->+oo)x_n*y_n=lim_(n->+oo)x_n*lim_(n->+oo)y_n=x*y$
e poiché $x_n in H$ $forall n in NN$ e $y_n in H$ $forall n in NN$ anche $x_n*y_n in H$ $forall n in NN$ (perché $H$ è un gruppo) e dunque $x*y=lim_(n->+oo)x_n*y_n in bar(H)$ (perché potrebbe non stare in $H$, ma certamente starà nella sua chiusura).
Similmente se $x in bar(H)$ esiste $x_n->x$ per $n->+oo$ e dunque $x_n^(-1)->x^(-1)$, ma poiché $x_n in H forall n in NN$ anche $x_n^(-1) in H forall n in NN$ (perché $H$ è un gruppo), quindi $x^(-1)=lim_(n->+oo)x_n^(-1) in bar(H)$ per la stessa ragione di prima
Dunque a questo punto mi sembra conclusa la dimostrazione. Vi convince? O proprio no?
Se questa dimostrazione va bene si può facilmente adattare alle reti perché godono molte delle proprietà delle successioni.
http://it.wikipedia.org/wiki/Rete_(matematica)
"fabry1985mi":
Dunque a questo punto mi sembra conclusa la dimostrazione. Vi convince? O proprio no?
Il problema è che perché la dimostrazione con le successioni funzioni occorre che il gruppo sia T2: se non hai unicità del limite non puoi dire che una $f$ è continua se e solo se commuta con $lim$.
Se questa dimostrazione va bene si può facilmente adattare alle reti perché godono molte delle proprietà delle successioni.
Sì, una volta convinti che possiamo usare le reti come usiamo le successioni.
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