Gruppi topologici
1) Sia $G$ un gruppo topologico e sia $N$ un intorno di $1$. Mostrare che esiste un intorno $V$ di $1$ tale che $VV^{-1} \subseteq N$.
L'applicazione $m:(x,y) \in G \rightarrow xy^{-1} \in G$ è continua. Siano $p_1$ e $p_2$ le proiezioni di $G xx G$ sulla prima e sulla seconda coordinata. Poniamo $V = p_1 (m^{-1}(N)) \cap p_2 (m^{-1}(N))$. Allora $V$ è aperto perchè (se non mi ricordo male) le proiezioni sono mappe aperte, non è vuoto perchè $1 \in V$ e inoltre risulta $VV^{-1}=m(V xx V) \subseteq N$.
2) Sia $H$ un sottogruppo discreto del gruppo topologico $G$. Trovare un intorno $V$ di $1$ in $G$ tale che le traslazioni sinistre $L_h (V)=hV$ siano tutte disgiunte.
Poichè $H$ è discreto il singoletto ${1}$ è aperto in $H$, quindi esiste un aperto $N$ di $G$ che interseca $H$ nel solo punto $1$. Per il risultato precedente esiste un intorno $V$ di $1$ tale che $VV^{-1} \subseteq N$. Supponiamo $h_1V \cap h_2V \ne \emptyset$ allora per opportuni elementi risulta $h_1v_1=h_2v_2$ ovvero $h_2^{-1}h_1 =v_2v_1^{-1} \in H \cap N = {1}$ quindi $h_2^{-1}h_1=1$ cioè $h_1=h_2$.
è ok? Grazie!
L'applicazione $m:(x,y) \in G \rightarrow xy^{-1} \in G$ è continua. Siano $p_1$ e $p_2$ le proiezioni di $G xx G$ sulla prima e sulla seconda coordinata. Poniamo $V = p_1 (m^{-1}(N)) \cap p_2 (m^{-1}(N))$. Allora $V$ è aperto perchè (se non mi ricordo male) le proiezioni sono mappe aperte, non è vuoto perchè $1 \in V$ e inoltre risulta $VV^{-1}=m(V xx V) \subseteq N$.
2) Sia $H$ un sottogruppo discreto del gruppo topologico $G$. Trovare un intorno $V$ di $1$ in $G$ tale che le traslazioni sinistre $L_h (V)=hV$ siano tutte disgiunte.
Poichè $H$ è discreto il singoletto ${1}$ è aperto in $H$, quindi esiste un aperto $N$ di $G$ che interseca $H$ nel solo punto $1$. Per il risultato precedente esiste un intorno $V$ di $1$ tale che $VV^{-1} \subseteq N$. Supponiamo $h_1V \cap h_2V \ne \emptyset$ allora per opportuni elementi risulta $h_1v_1=h_2v_2$ ovvero $h_2^{-1}h_1 =v_2v_1^{-1} \in H \cap N = {1}$ quindi $h_2^{-1}h_1=1$ cioè $h_1=h_2$.
è ok? Grazie!
Risposte
3) Mostrare che ogni sottogruppo discreto non banale $H$ del gruppo topologico $(R,+)$ è ciclico infinito.
Allora... l'intersezione di un compatto con un stgrp discreto è finita, perciò consideriamo le intersezioni $[n,n+1] \cap H$. Sono tutte finite quindi $H$ è numerabile. Inoltre $H$ non può essere denso in $R$ altrimenti i singoletti non possono essere aperti. E poi da qui posso concludere che $H$ è isomorfo a $ZZ$ ??
Ancora grazie.
Allora... l'intersezione di un compatto con un stgrp discreto è finita, perciò consideriamo le intersezioni $[n,n+1] \cap H$. Sono tutte finite quindi $H$ è numerabile. Inoltre $H$ non può essere denso in $R$ altrimenti i singoletti non possono essere aperti. E poi da qui posso concludere che $H$ è isomorfo a $ZZ$ ??
Ancora grazie.
4) Trovare un'azione di $ZZ_2$ sul toro che abbia come spazio delle orbite un cilcindro
Se pensiamo al toro come a una ciambella l'idea sarebbe quella di identificare metà della ciambella con l'altra metà ottenendo un tubo curvo che è omeomorfo a un cilcindro. Se identifichiamo il toro con $S^1 xx S^1$ e pensiamoa $S^1$ come lo spazio dei complessi di modulo $1$, allora l'azione $f: ZZ_2 xx (S^1 xx S^1) \rightarrow S^1 xx S^1$ dovrebbe comportarsi cosi
$0*(z,w)=(z,w)$
$1*(z,w)=(z,\bar w)$
è facile verificare che $(1+0)*(z,w)=(z,\bar w)=1*(0*(z,w))$ e che $(1+1)*(z,w)=0*(z,w)=(z,w)=(z, \bar \bar w)=1*(1*(z,w))$ e inoltre se diamo a $ZZ_2$ la topologia discreta $f$ risulta continua. Quindi $f$ è un'azione e lo spazio delle orbite $S^1 xx S^1$ / $ ZZ_2$ si può immaginare come la rotazione di una semicirconferenza intorno a un asse oppure come una rotazione di $180$ gradi di una circonferenza intorno a un asse. In entrambi i casi è come un tubo.
Spero di non aver detto scemenze, nel caso fatemelo pure notare grazie.
Se pensiamo al toro come a una ciambella l'idea sarebbe quella di identificare metà della ciambella con l'altra metà ottenendo un tubo curvo che è omeomorfo a un cilcindro. Se identifichiamo il toro con $S^1 xx S^1$ e pensiamoa $S^1$ come lo spazio dei complessi di modulo $1$, allora l'azione $f: ZZ_2 xx (S^1 xx S^1) \rightarrow S^1 xx S^1$ dovrebbe comportarsi cosi
$0*(z,w)=(z,w)$
$1*(z,w)=(z,\bar w)$
è facile verificare che $(1+0)*(z,w)=(z,\bar w)=1*(0*(z,w))$ e che $(1+1)*(z,w)=0*(z,w)=(z,w)=(z, \bar \bar w)=1*(1*(z,w))$ e inoltre se diamo a $ZZ_2$ la topologia discreta $f$ risulta continua. Quindi $f$ è un'azione e lo spazio delle orbite $S^1 xx S^1$ / $ ZZ_2$ si può immaginare come la rotazione di una semicirconferenza intorno a un asse oppure come una rotazione di $180$ gradi di una circonferenza intorno a un asse. In entrambi i casi è come un tubo.
Spero di non aver detto scemenze, nel caso fatemelo pure notare grazie.
L'esercizio 1 mi sembra corretto; sugli altri aspetta domani.
Grazie. Buona serata.
Ho l'impressione che l'esercizio \(3\) si risolva studiando l'azione di Cayley: \[\rho:H\to\mathrm{Sym}(\mathbb{R}/_{H})\] ma non ho ben chiaro come! 
Ciao. Scusami per "azione di Cayley" intendi quella che manda $h$ nella traslazione $L_h : g \in RR -> h+g \in RR$ ?? Cmq il testo propone questo esercizio prima ancora di spiegare cos'è un'azione topologica quindi sono portato a pensare che si possa fare anche senza, però se seguendo la tua strada si riesce meglio, ben venga! 
5) Sia $G$ un gruppo topologico $T_1$. Mostrare che è $T_3$ (regolare).
Sia $A$ un chiuso e $x$ un punto che non appartiene ad $A$. Dato che le traslazioni e l'inversione sono omeomorfismi i sottospazi $A^{-1}x$ e $x^{-1} A$ sono chiusi. Inoltre $1 \notin x^{-1} A \cup A^{-1}x$ quindi per l'esercizio 1) esiste un intorno $V$ di $1$ tale che $VV^{-1} \subset G - ( x^{-1} A \cup A^{-1}x )$. Mostriamo che gli aperti $xV$ (che contiene $x$) e $A*V$ (che contiene $A$) sono disgiunti. Se non fosse così per opportuni elementi si avrebbe $xv_1=av_2$ cioè $a^{-1}x=v_2v_1^{-1} \in VV^{-1}$ oppure $x^{-1}a =v_1v_2^{-1} \in VV^{-1}$. In entrambi i casi è impossibile data la scelta di $V$.
Sia $A$ un chiuso e $x$ un punto che non appartiene ad $A$. Dato che le traslazioni e l'inversione sono omeomorfismi i sottospazi $A^{-1}x$ e $x^{-1} A$ sono chiusi. Inoltre $1 \notin x^{-1} A \cup A^{-1}x$ quindi per l'esercizio 1) esiste un intorno $V$ di $1$ tale che $VV^{-1} \subset G - ( x^{-1} A \cup A^{-1}x )$. Mostriamo che gli aperti $xV$ (che contiene $x$) e $A*V$ (che contiene $A$) sono disgiunti. Se non fosse così per opportuni elementi si avrebbe $xv_1=av_2$ cioè $a^{-1}x=v_2v_1^{-1} \in VV^{-1}$ oppure $x^{-1}a =v_1v_2^{-1} \in VV^{-1}$. In entrambi i casi è impossibile data la scelta di $V$.
Ecco un paio di esercizi su cui sto riflettendo ma senza risultati (nel seguito quando dico "gruppo topologico" sottintendo sempre che è $T_1$ perchè Munkres dice così... )
6) Siano $A$ e $B$ sottospazi di un gruppo topologico $G$. Se $A$ è chiuso e $B$ è compatto $A*B$ è chiuso.
Ho pensato solo che siccome $G$ è hausdorff allora anche $B$ è chiuso, in particolare $A xx B$ è chiuso in $G xx G$, ma non so se questo mi permette di sfruttare la continuità della moltiplicazione in qualche modo intelligente...
7) Trovare un'azione di $ZZ$ su $RR xx [0,1]$ che abbia come spazio delle orbite il nastro di moebius.
L'unica costruzione che ho visto del nastro parte da un rettangolo e unisce due lati opposti dopo averne capovolto uno. Perciò mi ero figurato di ridurre la striscia $RR xx [0,1]$ ad un rettangolo $[0,1] xx [0,1]$ e quindi applicare quella costruzione ma questo equivale a identificare i punti $((- \infty,0) xx {t} ) \cup ((1, + \infty) xx {1-t})$ per ogni $t \in [0,1]$. Impossibile perchè le orbite devono essere al più numerabili... Altra idea è che $R/Z$ è un cerchio quindi si potrebbe ottenere un cilindro, come faccio a tirar fuori un nastro da un cilindro?
6) Siano $A$ e $B$ sottospazi di un gruppo topologico $G$. Se $A$ è chiuso e $B$ è compatto $A*B$ è chiuso.
Ho pensato solo che siccome $G$ è hausdorff allora anche $B$ è chiuso, in particolare $A xx B$ è chiuso in $G xx G$, ma non so se questo mi permette di sfruttare la continuità della moltiplicazione in qualche modo intelligente...
7) Trovare un'azione di $ZZ$ su $RR xx [0,1]$ che abbia come spazio delle orbite il nastro di moebius.
L'unica costruzione che ho visto del nastro parte da un rettangolo e unisce due lati opposti dopo averne capovolto uno. Perciò mi ero figurato di ridurre la striscia $RR xx [0,1]$ ad un rettangolo $[0,1] xx [0,1]$ e quindi applicare quella costruzione ma questo equivale a identificare i punti $((- \infty,0) xx {t} ) \cup ((1, + \infty) xx {1-t})$ per ogni $t \in [0,1]$. Impossibile perchè le orbite devono essere al più numerabili... Altra idea è che $R/Z$ è un cerchio quindi si potrebbe ottenere un cilindro, come faccio a tirar fuori un nastro da un cilindro?
Ho pensato all'esercizio 6.
Sia $c \in G-AB$ allora $cB^{-1} \cap A = \emptyset$ altrimenti per opportuni elementi $cb^{-1}=a$ cioè $c=ab \in AB$, impossibile per la scelta di $c$. Ricordiamoci che la moltiplicazione $m:G xxG -> G$ è continua. Allora $m^{-1}(A)$ è un chiuso mentre ${c} xx B^{-1} \subset m^{-1}(cB^{-1})$ è un compatto e questi due sono disgiunti. Allora esiste un intorno $V$ di ${c} xx B^{-1}$ disgiunto da $m^{-1}(A)$ e quindi la proiezione $W= p_1 (V)$ è un intorno di $c$ tale che $W*B^{-1} = m(W xx B^{-1})$ è disgiunto da $A= m(m^{-1}(A))$ e quindi $W$ è disgiunto da $AB$ che pertanto è chiuso.
Non riesco a capire. Dove ho usato la compattezza??
Sia $c \in G-AB$ allora $cB^{-1} \cap A = \emptyset$ altrimenti per opportuni elementi $cb^{-1}=a$ cioè $c=ab \in AB$, impossibile per la scelta di $c$. Ricordiamoci che la moltiplicazione $m:G xxG -> G$ è continua. Allora $m^{-1}(A)$ è un chiuso mentre ${c} xx B^{-1} \subset m^{-1}(cB^{-1})$ è un compatto e questi due sono disgiunti. Allora esiste un intorno $V$ di ${c} xx B^{-1}$ disgiunto da $m^{-1}(A)$ e quindi la proiezione $W= p_1 (V)$ è un intorno di $c$ tale che $W*B^{-1} = m(W xx B^{-1})$ è disgiunto da $A= m(m^{-1}(A))$ e quindi $W$ è disgiunto da $AB$ che pertanto è chiuso.
Non riesco a capire. Dove ho usato la compattezza??
Esercizio 3
Purtroppo mi sono espresso male, ti suggerivo di studiare l'azione di Cayley:
\[
\rho:h\in H\to\left(L_h:g\in H\to h+g\in H\right)\in\mathrm{Sym}H
\]
chissà che ne esca qualcosa di utile!
Esercizio 4
Svolgimento impeccabile!
Esercizio 7
Suggerimento: prova a schiacciare \(\mathbb{R}\times[0;1]\) mediante un'azione di \(\mathbb{Z}\) su esso in \(]0;1[\times[0;1]\)!
Nota: se ci riesci ottieni il nastro di Moebius senza bordo.
Purtroppo mi sono espresso male, ti suggerivo di studiare l'azione di Cayley:
\[
\rho:h\in H\to\left(L_h:g\in H\to h+g\in H\right)\in\mathrm{Sym}H
\]
chissà che ne esca qualcosa di utile!
Esercizio 4
Svolgimento impeccabile!
Esercizio 7
Suggerimento: prova a schiacciare \(\mathbb{R}\times[0;1]\) mediante un'azione di \(\mathbb{Z}\) su esso in \(]0;1[\times[0;1]\)!
Nota: se ci riesci ottieni il nastro di Moebius senza bordo.
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