Gruppi ortogonali speciali

[Temitope.A]

Ciao, sono alla fine di un corso semestrale di Algebra lineare, e mi chiedevo come funzionasse l'utilizzo delle matrici dei gruppi SO2 e SO3, quelle di rotazione.

Praticamente, uno dei problemi più semplici che mi pongo è, dato un vettore qualsiasi, nel piano o nello spazio, come trovo i coefficienti di
| sin(a) -cos(a)|
| -cos(a) sin(a) |
che mi rendono il vettore parallelo a uno degli assi del sistema ortogonale fissato?

Se una quadratica mi individua una conica ruotata, come la riposiziono in forma canonica? Come fare il contrario?

[perplesso1]

Praticamente, uno dei problemi più semplici che mi pongo è, dato un vettore qualsiasi, nel piano o nello spazio, come trovo i coefficienti di
| sin(a) -cos(a)|
| -cos(a) sin(a) |
che mi rendono il vettore parallelo a uno degli assi del sistema ortogonale fissato?

Io farei così... ti calcoli l'angolo fra il tuo vettore $ v $ e il vettore $ e $ a cui vuoi farlo diventare parallelo, viene $ cos \alpha = { } /{||v|| * ||e||} $ e quindi $ sin \alpha = \sqrt {1 -cos^2 \alpha} $ e ti scrivi la matrice di rotazione.

Se una quadratica mi individua una conica ruotata, come la riposiziono in forma canonica? Come fare il contrario?

Vedi gli appunti di Claretta Carrara http://science.unitn.it/~carrara/ESERCIZIARIO/scap13.pdf pagina 3 e seguenti (dove dice "suggerimenti" ) ti spiega in modo "pratico" come classificare le coniche e ridurle a forma canonica, ci sono anche un sacco di esercizi svolti.