Gruppi di Cernikov
Aiutatemiiiiii
G è un gruppo di Cernikov se e solo se tale è ogni suo sottogruppo numerabile.
Come si fa a dimostrarlo?
Help help help
Grazie mille
G è un gruppo di Cernikov se e solo se tale è ogni suo sottogruppo numerabile.
Come si fa a dimostrarlo?
Help help help
Grazie mille
Risposte
Che la condizione sia necessaria non mi sembra difficile... basta tener presente che i gruppi di
Cernikov sono tutti e soli quelli virtualmente abeliani con min.
Se $G$ e' di Cernikov, esiste $H$ sottogruppo di $G$ con $H$ abeliano e $|G : H|$ finito;
inoltre $G$ ha min. Se allora $K \leq G$, $|K : H \cap K|$ e' finito e ovviamente $H \cap K$
e' abeliano e $K$ ha min, sicche' $K$ e' di Cernikov.
Quindi tutti i sottogruppi di un gruppo di Cernikov sono pure loro di Cernikov.
Nell'altro senso pare piu' difficile... devo pensarci un po'
Cernikov sono tutti e soli quelli virtualmente abeliani con min.
Se $G$ e' di Cernikov, esiste $H$ sottogruppo di $G$ con $H$ abeliano e $|G : H|$ finito;
inoltre $G$ ha min. Se allora $K \leq G$, $|K : H \cap K|$ e' finito e ovviamente $H \cap K$
e' abeliano e $K$ ha min, sicche' $K$ e' di Cernikov.
Quindi tutti i sottogruppi di un gruppo di Cernikov sono pure loro di Cernikov.
Nell'altro senso pare piu' difficile... devo pensarci un po'
Allora, torniamo al problema di dimostrare che se tutti i sottogruppi numerabili di un gruppo
$G$ sono di Cernikov, tale e' anche $G$.
Un piano di attacco potrebbe essere il seguente; pero' attenzione perche',
tranne il numero (1), si tratta solo di congetture. Allora:
(1) $G$ e' di Cernikov se e solo se possiede una serie (finita) i cui fattori sono gruppi finiti
o $p$-gruppi di Prufer; chiamiamola serie di Cernikov
(2) se $G$ e' di Cernikov, il numero dei fattori infiniti delle sue serie di Cernikov e' costante
(qui la situazione dovrebbe essere analoga a quello che succede con i gruppi policiclici): prendi
una serie di Cernikov $\Sigma : 1 = H_0 <= H_1 <= ... <= H_r = G$ e fanne un raffinamento $\Sigma_0$; se
$H_i <= K < L <= H_{i+1}$, e $H_{i+1} / H_i$ e' infinito, allora siccome tutti i sottogruppi propri
di un $p$-gruppo di Prufer sono finiti uno solo dei quozienti $H_{i+1} / L$, $L / K$, $K / H_i$ e'
infinito, e quindi $\Sigma_0$ ha tanti fattori infiniti quanti ne ha $\Sigma$; ma raffinamenti di serie
anche distinte di $G$ sono isomorfi, e quindi dovrebbe seguirne la (2); nel seguito indichiamo con $c(G)$
il numero dei fattori infiniti di una qualunque serie di Cernikov di $G$
(3) questo e' il punto principale: un gruppo $G$ e' di Cernikov con $c(G) = n$ se e solo se ogni
sottogruppo finitamente generato $H$ di $G$ e' di Cernikov con $c(H) <= n$; qui, per
dimostrare la sufficienza, si potrebbe ragionare per assurdo
(4) sia ora $G$ un gruppo, e supponiamo che ogni suo sottogruppo (al piu') numerabile sia di
Cernikov (tieni presente che i gruppi finiti sono banalmente di Cernikov) e supponiamo che
$G$ non lo sia; allora siccome i sottogruppi finitamente generati di $G$ sono al piu'
numerabili, e quindi di Cernikov, per la (3) per ogni $n$ esiste $H_n$ finitamente generato
e tale che $c(H_n) >= n$; sia $H$ il sottogruppo generato da tutti gli $H_n$; allora $H$
e' finitamente o numerabilmente generato, quindi al piu' numerabile, quindi di Cernikov,
quindi esiste $M$ tale che $c(H) = M$; ma $H_{M+1} <= H$ e $c(H_{M+1}) >= M + 1 > M = c(H)$,
contro la (3)
$G$ sono di Cernikov, tale e' anche $G$.
Un piano di attacco potrebbe essere il seguente; pero' attenzione perche',
tranne il numero (1), si tratta solo di congetture. Allora:
(1) $G$ e' di Cernikov se e solo se possiede una serie (finita) i cui fattori sono gruppi finiti
o $p$-gruppi di Prufer; chiamiamola serie di Cernikov
(2) se $G$ e' di Cernikov, il numero dei fattori infiniti delle sue serie di Cernikov e' costante
(qui la situazione dovrebbe essere analoga a quello che succede con i gruppi policiclici): prendi
una serie di Cernikov $\Sigma : 1 = H_0 <= H_1 <= ... <= H_r = G$ e fanne un raffinamento $\Sigma_0$; se
$H_i <= K < L <= H_{i+1}$, e $H_{i+1} / H_i$ e' infinito, allora siccome tutti i sottogruppi propri
di un $p$-gruppo di Prufer sono finiti uno solo dei quozienti $H_{i+1} / L$, $L / K$, $K / H_i$ e'
infinito, e quindi $\Sigma_0$ ha tanti fattori infiniti quanti ne ha $\Sigma$; ma raffinamenti di serie
anche distinte di $G$ sono isomorfi, e quindi dovrebbe seguirne la (2); nel seguito indichiamo con $c(G)$
il numero dei fattori infiniti di una qualunque serie di Cernikov di $G$
(3) questo e' il punto principale: un gruppo $G$ e' di Cernikov con $c(G) = n$ se e solo se ogni
sottogruppo finitamente generato $H$ di $G$ e' di Cernikov con $c(H) <= n$; qui, per
dimostrare la sufficienza, si potrebbe ragionare per assurdo
(4) sia ora $G$ un gruppo, e supponiamo che ogni suo sottogruppo (al piu') numerabile sia di
Cernikov (tieni presente che i gruppi finiti sono banalmente di Cernikov) e supponiamo che
$G$ non lo sia; allora siccome i sottogruppi finitamente generati di $G$ sono al piu'
numerabili, e quindi di Cernikov, per la (3) per ogni $n$ esiste $H_n$ finitamente generato
e tale che $c(H_n) >= n$; sia $H$ il sottogruppo generato da tutti gli $H_n$; allora $H$
e' finitamente o numerabilmente generato, quindi al piu' numerabile, quindi di Cernikov,
quindi esiste $M$ tale che $c(H) = M$; ma $H_{M+1} <= H$ e $c(H_{M+1}) >= M + 1 > M = c(H)$,
contro la (3)
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