Grassmann

[VALE014]

Siano k un numero reale, $W ⊂ R^4$ il sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema lineare omogeneo
${ ( x+2y-z=0 ),( z+x=0 ):}$
e $Uk ⊂ R^4$il sottospazio vettoriale
Uk =< (1, 1, 0, 2), (−1, 0, −1, 1), (k, 3, −1, 7) > .
(a) Determinare una base di W ed una di Uk.
(b) Determinare le dimensioni di Uk + W e di Uk ∩ W.
nel punto (a) trovo come base W{(-1,1,1,0),(0,0,0,1)}e dim(w)=2 UK{(1,1,0,2),(-1,0,-1,1),(-k,3,-1,7)}
metto in matrice $ {: ( 1 , 1 , 0 , 2 ),(-1 , 0 , -1 , 1 ),( k , 3 , -1 , 7 ),( -1 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ) :} $ ed ho che il det=3 che è diverso da 0 , però non so applicare questa formula (GRassmann)dim(Uk∩W) = dim(Uk)+dim(W)−dim(Uk+W) non capisco proprio come applicarla spero nel vostro aiuto e mi scuso se ho sbagliato qualche calcolo grazie in anticipo

[cooper1]

per determinare la dimensione di $U_k$ devi studiare il rango della matrice
$ ( ( 1 , -1 , -k ),( 1 , 0 , 3 ),( 0 , -1 , -1 ),(2,1,7) ) $
per poter usare la formula di Grassmann ti serve di calcolare la dimensione della somma o dell'intersezione e solo alla fine puoi usare Grassmann con l'ultima dimensione che rimane.

[VALE014]

Si non capisco come si calcola l'interazione

[cooper1]

in esercizi di questo tipo dove non è esplicitamente richiesta una base dell'intersezione ma solo la sua dimensione, io trovo più semplice trovare una base della somma e poi applicare Grassmann.
se invece vuoi proprio calcolare l'intersezione posso dirti come farei.