Gram Schmidt su forma bilineare
Sia $A=((1,3,-2),(3,4,9),(-2,-9,6))$ la matrice di una forma bilineare simmetrica non degenere $g:VxV->C$ nella base canonica. Trovare una base di V rispetto alla quale la matrice e' della forma $((1_r,0),(0,-1_s))$.
Algoritmo di GramSchmidt:
$g(e_1,e_1)=1$ quindi $v_1=e_1$.
$v_2'=e_2-g(e_2,v_1)v_1/(+1)=(3,1,0)$.
$g(v_2',v_2')=-5$ quindi $v_2=(v_2')/sqrt(abs(-5))=(-3/sqrt(5),1/sqrt(5),0)$.
$g(v_2,v_2)=-1$.
$v_3'=e_3-g(e_3,v_1)v_1-g(e_3,v_2)v_2/(-1)=(sqrt(19/5),-3/sqrt(95),sqrt(5/19))$.
$g(v_3',v_3')=19/5$ quindi $v_3=(v_3')/sqrt(abs(19/5))=(sqrt(19/5),-3/sqrt(95),sqrt(5/19))$.
Se chiamo P la matrice $(v1,v3,v2)$ dovrei ottenere che $P^tAP=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$ invece ottengo la matrice $diag(1,4/5,30/19)$.
Dove sbaglio?
Algoritmo di GramSchmidt:
$g(e_1,e_1)=1$ quindi $v_1=e_1$.
$v_2'=e_2-g(e_2,v_1)v_1/(+1)=(3,1,0)$.
$g(v_2',v_2')=-5$ quindi $v_2=(v_2')/sqrt(abs(-5))=(-3/sqrt(5),1/sqrt(5),0)$.
$g(v_2,v_2)=-1$.
$v_3'=e_3-g(e_3,v_1)v_1-g(e_3,v_2)v_2/(-1)=(sqrt(19/5),-3/sqrt(95),sqrt(5/19))$.
$g(v_3',v_3')=19/5$ quindi $v_3=(v_3')/sqrt(abs(19/5))=(sqrt(19/5),-3/sqrt(95),sqrt(5/19))$.
Se chiamo P la matrice $(v1,v3,v2)$ dovrei ottenere che $P^tAP=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,-1))$ invece ottengo la matrice $diag(1,4/5,30/19)$.
Dove sbaglio?