Gram-Schmidt
Supponiamo di avere due vettori:
$ v_1=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $ , $ v_2=( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Io so che:
$w_1=v_1=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )$
$w_2=v_2-(v_2\cdot w_1)/(w_1 \cdot w_1)w_1=( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) )-(( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) )\cdot ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ))/(( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )\cdot ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ))( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )$
Posso usare il prodotto scalare canonico tra vettori per svolgere il prodotto?
$ v_1=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $ , $ v_2=( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $
Io so che:
$w_1=v_1=( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )$
$w_2=v_2-(v_2\cdot w_1)/(w_1 \cdot w_1)w_1=( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) )-(( ( -1 ),( 0 ),( 1 ) )\cdot ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ))/(( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )\cdot ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ))( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )$
Posso usare il prodotto scalare canonico tra vettori per svolgere il prodotto?
Risposte
Ciao!
No devi usare il prodotto scalare preso in considerazione.
Per esempio considera il prodotto scalare $* : RRtimesRR->RR$ definito come
fissa la base $B={1/sqrt2}$ per calcolare la matrice basta calcolare $b(1/sqrt2,1/sqrt2)=1$
considerando ora che se $x$ è un vettore allora lo puoi scrivere come $x=(xsqrt2)*1/sqrt2$ coordinate di un generico vettore $x$ rispetto alla base $B$ saranno $C_B(x)=xsqrt2$ quindi l'applicazione la scriverai come
$b(x,y)=C_B(x)^t*(1)*C_B(y)=(ysqrt2)*(xsqrt2)=2xy$ come volevasi dimostrare
Se invece la base dello spazio è quella canonica e il prodotto scalare è quello standard, allora puoi farlo poiché la matrice è l’identita e il vettore va a coincidere con quello delle sue coordinate.
No devi usare il prodotto scalare preso in considerazione.
Per esempio considera il prodotto scalare $* : RRtimesRR->RR$ definito come
$b(x,y)=2xy$
fissa la base $B={1/sqrt2}$ per calcolare la matrice basta calcolare $b(1/sqrt2,1/sqrt2)=1$
considerando ora che se $x$ è un vettore allora lo puoi scrivere come $x=(xsqrt2)*1/sqrt2$ coordinate di un generico vettore $x$ rispetto alla base $B$ saranno $C_B(x)=xsqrt2$ quindi l'applicazione la scriverai come
$b(x,y)=C_B(x)^t*(1)*C_B(y)=(ysqrt2)*(xsqrt2)=2xy$ come volevasi dimostrare
Se invece la base dello spazio è quella canonica e il prodotto scalare è quello standard, allora puoi farlo poiché la matrice è l’identita e il vettore va a coincidere con quello delle sue coordinate.
"anto_zoolander":
No devi usare il prodotto scalare preso in considerazione.
Ho capito, ti ringrazio… Dunque se non ho alcun prodotto scalare definito non posso applicare l'algoritmo.
Allora ti pregherei di aiutarmi a capire come portare a termine questo esercizio.
Io ho la seguente forma quadratica $Q(x_1,x_2,x_3)=-2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3$ e mi si chiede di ridurla in forma canonica operando un cambio di variabili.
Inizio costruendo la matrice simmetrica associata $ [ ( 0 , -1 , 1 ),( -1 , 0 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) ] $, e tramite la matrice degli autovalori ottengo $lambda_1=1$ con molteplicità algebrica $m(-1)=2$ e $lambda_2=2$ con molteplicità algebrica $m(2)=1$. Verifico per i due autovalori la possibilità di costruire una matrice diagonalizzante ortogonale, e ne calcolo i rispettivi autovettori che sono
$ \bar(a)=x_2( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )+x_3( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) $ e $\bar(b)=x_3( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )$
Ora devo costruire una base ortogonale e poi normalizzarla per ottenere la mia matrice diagonalizzante utile al cambio di variabili.
Se ad es. avessi avuto tre autovettori "separati e distinti" (mi scuserai ma sto cercando di farmi capire…), per verificare che fossero ortogonali avrei dovuto fare il prodotto scalare canonico coppia a coppia e verificare che il risultato di ogni prodotto fosse $0$. Ora, invece, il primo autovettore è composto dalla somma di due vettori… Come devo comportarmi? Potresti mostrarmi come fare in questi casi per ottenere la base ortonormale che costituisce la matrice diagonalizzante? Spero davvero tu possa aiutarmi… E' un'ipotesi di esercizio frequente all'esame
Scusami ero a lezione 
Ma sei sicuro che da quella di possa estrapolare un prodotto scalare? $Q(1,1,0)=-2$ o anche guardando il secondo minore principale che ha determinate negativo.
Oppure come definizione di prodotto scalare hai semplicemente che debba essere una forma bilineare simmetrica?
Ma sei sicuro che da quella di possa estrapolare un prodotto scalare? $Q(1,1,0)=-2$ o anche guardando il secondo minore principale che ha determinate negativo.
Oppure come definizione di prodotto scalare hai semplicemente che debba essere una forma bilineare simmetrica?
"anto_zoolander":
Scusami ero a lezione
Ma sei sicuro che da quella di possa estrapolare un prodotto scalare? $Q(1,1,0)=-2$ o anche guardando il secondo minore principale che ha determinate negativo.
Oppure come definizione di prodotto scalare hai semplicemente che debba essere una forma bilineare simmetrica?
Non preoccuparti, anzi grazie dell'aiuto!
Guarda, non saprei cosa dirti… Cito testualmente dalla traccia d'esame:
Data la forma quadratica (che ho scritto sopra) riducila in forma canonica individuando un opportuno cambio di variabili. (Suggerimento: scrivi la matrice simmetrica associata a $Q$ e diagonalizzala mediante una matrice diagonalizzante ortogonale.)
Io devo trovare la base ortogonale ma non viene specificato nulla rispetto ad un eventuale prodotto scalare da utilizzare, per cui ho supposto di poter utilizzare GS tramite prodotto scalare canonico in $R^3$. (Peraltro, ad es., anche qui (http://www.science.unitn.it/~carrara/ESERCIZIARIO/scap10.pdf) si utilizza ripetutamente GS col prodotto scalare canonico). Svolgendolo in questo modo ottenevo vettori tra loro ortogonali ($( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) ,( ( -1/2 ),( 1/2 ),( 1 ) ) ,( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) $), che normalizzati tramite divisione per la norma (ovvero moltiplicandoli rispettivamente per $1/\sqrt(2)$, $2/\sqrt(6)$ e $1/\sqrt(3)$) e inseriti in matrice formavano la matrice diagonalizzante ortogonale.
Sei sicuro che non posso ortogonalizzare i vettori con GS in questo modo? Come dovrei fare altrimenti?
"arnett":
Scusatemi se mi intrometto, ma @anto, lui non vuole definire un prodotto scalare con la forma bilineare rappresentata da quella matrice, chiaramente non si potrebbe fare poiché non è definita positiva, lui vuole ridurre in forma canonica la conica rappresentata dalla matrice.
Inoltre quando si roto-trasla una conica si effettua una rotazione sulla matrice $2\times2$, non su quella $3\times3$ e poi con un secondo cambio di coordinate (questa volta affine, non lineare) la si trasla (se non ricordo male, ora non riesco a mettermi a fare calcoli per vedere se funziona). In questo specifico caso gli autovalori saranno, se non sbaglio a fare i conti a mente, $\pm1$ e non c'è bisogno di ortonormalizzare.
Grazie per il tuo intervento.
Magari questo è un caso particolare che non richiede ortonormalizzazione e ok, ma il mio problema rimane:
come ortogonalizzo due autovettori di cui il primo "singolo" $t(\bar(x_3))$ e il secondo del tipo $l (\bar(x_1))+k (\bar(x_2))$? Posso usare GS con prodotto scalare canonico?
"arnett":
Ooops e infatti sono intervenuto a sproposito: non ho visto la terza coordinata e pensavo fosse una conica. Quindi è giusto che la matrice di rotazione sia 3×3. Inoltre se devi ortonormalizzare (e questa volta va fatto) si usa GS col prodotto scalare standard.
Dunque è corretto applicare GS col prodotto scalare canonico. Ti ringrazio!
Puoi dirmi, in conclusione, se la matrice diagonalizzante ortonormale è:
$ P=[ ( l_1, -1/2k_1, t_1 ),( l_1 , 1/2k_1 , -t_1 ),( 0 , k_1 , t_1) ] $
con $l_1=1/\sqrt(2)$, $k_1=2/\sqrt(6)$ e $t_1=1/\sqrt(3)$.
Grazie ancora!
"arnett":
I conti mi sembrano corretti
Ottimo! Grazie!
E allora siccome $ P=P^(-1)=P^T=[ ( l_1 , l_1 , 0 ),( -1/2k_1 , 1/2k_1 , k_1 ),( t_1 , -t_1 , t_1 ) ] $ e $ D=[ ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ] $ , per la condizione $ \bar{X}^TA\bar{X}=\bar{X}^TPDP^T\bar{X}=\bar{Y}^TD\bar{Y} $ il cambio di variabili si ottiene come $\bar{Y}=P^T\bar{X}=[ ( l_1 , l_1 , 0 ),( -1/2k_1 , 1/2k_1 , k_1 ),( t_1 , -t_1 , t_1 ) ] \bar{X}$.
Confido che sia tutto corretto.
Grazie mille a tutti!
"arnett":
E' corretto, ma l'esercizio non è finito.
E' vero, ho dimenticato la riduzione in forma canonica della forma quadratica tramite cambio di variabili:
$ \bar(Y)^TD\bar(Y)=-y_1^2-y_2^2+2y_3^2 $
Dovrebbe essere completo ora.
Se dovesse esserci dell'altro ti pregherei di farmelo notare arnett!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo