Gram-schimdt
Ciao, nn capisco il prcedimento di Gram-Schimdt, qualcuno potrebbe aiutarmi a capirlo??
riporto cio che c e scritto sulle mie dispense che e tutto il materiale che ho a disposizione:
"Definiamo quindi un procedimento detto di Gram-Schimdt per ricavare una base ortonormale da $u_1,u_2,.....u_n$.
Posto $v_1=(u_1)/(||u_1||)$ si ha $||v_1||=1$ (perche??perche nn e vettore nullo?); successivamente posto $v_2=(u_2-alpha_1v_1)/(||u_1-alpha_1v_1||)$, con $alpha_1=u_2v_1$ si ha:
$(v_2,v_1)=((u_2,v_1)-alpha_1(v_1,v_1))/(||u_2-alpha_1v_1||)=0$ (da dove vien fuori??); $||v_2||=1$ (perche?).
Ovviamente $||u_2-alpha_1v_1||!=0$ perche in caso contrario si avrebbe $u_2=alpha_1v_1=(alpha_1u_1)/(||u_1||)$"
cio che nn ho capito sono i perche tra parentesi...il procedimento poi continua ma preferirei cominciare a capire prima questa parte...grazie ciao!!
riporto cio che c e scritto sulle mie dispense che e tutto il materiale che ho a disposizione:
"Definiamo quindi un procedimento detto di Gram-Schimdt per ricavare una base ortonormale da $u_1,u_2,.....u_n$.
Posto $v_1=(u_1)/(||u_1||)$ si ha $||v_1||=1$ (perche??perche nn e vettore nullo?); successivamente posto $v_2=(u_2-alpha_1v_1)/(||u_1-alpha_1v_1||)$, con $alpha_1=u_2v_1$ si ha:
$(v_2,v_1)=((u_2,v_1)-alpha_1(v_1,v_1))/(||u_2-alpha_1v_1||)=0$ (da dove vien fuori??); $||v_2||=1$ (perche?).
Ovviamente $||u_2-alpha_1v_1||!=0$ perche in caso contrario si avrebbe $u_2=alpha_1v_1=(alpha_1u_1)/(||u_1||)$"
cio che nn ho capito sono i perche tra parentesi...il procedimento poi continua ma preferirei cominciare a capire prima questa parte...grazie ciao!!
Risposte
"richard84":
Posto $v_1=(u_1)/(||u_1||)$ si ha $||v_1||=1$ (perche??)
Perché hai diviso un vettore per il suo modulo, il vettore risultante infatti è un versore, ed ha modulo unitario.
e sottointeso che nn sia il vettore nullo quindi...
chiaramente..con un vettore nullo una base non la formi!
si ok questa e stata una mia enorme svista....!!!pero il resto nn lo capisco molto...
il succo è: parti da un vettore, ne costruisci un altro che sia ortogonale a questo imponendo come condizione che il prodotto scalare fra questi due sia nullo e ricavandone le componenti in questo modo
and so on per quanti te ne servono
and so on per quanti te ne servono
Io ti consiglio di trovare per prima cosa una base ortogonale, e dopo di normalizzarla, cioè dividere ogni vettore per il suo modulo.
Se parti da $u_1, u_2, \ldots, u_n$, il primo vettore della base ortogonale è $v_1'=u_1$, il secondo si calcola ponendo $v_2' = u_2 - (\langle v_1',u_2 \rangle)v_1'$, cioè sottrai da $u_2$ la componente sua componente nella direzione di $v_1'$. Con un po' di conti si dimostra che $v_2'$ e $v_1'$ sono ortogonali.
Al passo $n$-esimo invece devi calcolare $v_n' = u_n - ((\langle v_{n-1}', u_n \rangle)v_{n-1}'+(\langle v_{n-2},u_n \rangle)v_{n-2}'+\ldots+(\langle v_1',u_n \rangle)v_1')$
A questo punto i vettori $v_i'$ formano una base ortogonale, per avere una base ortonormale devi dividere ogni vettore per il proprio modulo: $v_i=\frac{v_i'}{||v_i'||}$.
EDIT: avevo sbagliato a scrivere un paio di formule...
Se parti da $u_1, u_2, \ldots, u_n$, il primo vettore della base ortogonale è $v_1'=u_1$, il secondo si calcola ponendo $v_2' = u_2 - (\langle v_1',u_2 \rangle)v_1'$, cioè sottrai da $u_2$ la componente sua componente nella direzione di $v_1'$. Con un po' di conti si dimostra che $v_2'$ e $v_1'$ sono ortogonali.
Al passo $n$-esimo invece devi calcolare $v_n' = u_n - ((\langle v_{n-1}', u_n \rangle)v_{n-1}'+(\langle v_{n-2},u_n \rangle)v_{n-2}'+\ldots+(\langle v_1',u_n \rangle)v_1')$
A questo punto i vettori $v_i'$ formano una base ortogonale, per avere una base ortonormale devi dividere ogni vettore per il proprio modulo: $v_i=\frac{v_i'}{||v_i'||}$.
EDIT: avevo sbagliato a scrivere un paio di formule...
continuo a nn capire 
cosa vogliono dire queste scritte:
$v_2=(u_2-alpha_1v_1)/(||u_1-alpha_1v_1||)$, con $alpha_1=u_2v_1$ nn potrebbe essere $v_2=(u_2-alpha_1v_1)/(||u_2-alpha_1v_1||)$?''
e
$(v_2,v_1)=((u_2,v_1)-alpha_1(v_1,v_1))/(||u_2-alpha_1v_1||)=0$
cosa vogliono dire queste scritte:$v_2=(u_2-alpha_1v_1)/(||u_1-alpha_1v_1||)$, con $alpha_1=u_2v_1$ nn potrebbe essere $v_2=(u_2-alpha_1v_1)/(||u_2-alpha_1v_1||)$?''
e
$(v_2,v_1)=((u_2,v_1)-alpha_1(v_1,v_1))/(||u_2-alpha_1v_1||)=0$
"richard84":
nn potrebbe essere $v_2=(u_2-alpha_1v_1)/(||u_2-alpha_1v_1||)$?''
è, e tieni conto che $alpha_1=u_2*v_1$ è prodotto scalare
grazie mille luca!!allora c era un errore sulle dispense...oggi pomeriggio se riesco do ancora un occhiata e vedo se e tutto chiaro!!
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