Gradiente normale a superficie

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Grazie al teorema di Dini, valido per funzioni $g$ di classe $C^1$, mi sembra facile dimostrare che il gradiente $\nabla g(x,y,z)$ di una superficie $g(x,y,z)=0$ -di cui una delle variabili, se $\nabla g(x_0,y_0,y_0) != \vec 0$, è localmente esprimibile in funzione delle altre due- è normale alla superficie perché -detto in breve- tale superficie è localmente cartesiana ed una superficie cartesiana che è grafico di $f(u,v)$ ha per normale in $(u_0,v_0)$ il vettore $(-\partial_u f(u_0,v_0),-\partial_v f(u_0,v_0),1)$.
Se $g$ non è di classe $C^1$, $\nabla g$ è comunque normale alla superficie $g(x,y,z)=0$ o non è detto?
$+oo$ grazie a tutti!

[luca961]

Non é detto e ti spiego il perché. Se la funzione non è di classe C1, per parlare di gradiente è necessario comunque che la funzione sia derivabile una volta rispetto a entrambe le variabili. Come forse dovresti sapere, questa condizione non è sufficiente per la differenziabilità nel punto (mentre il fatto che g(x,y,z) appartiene a C1 lo è). Il fatto che in generale non sia differenziabile vuol dire che (in generale) non si può approssimare nell'intorno g(x,y,z) ad una funzione lineare dunque non ha senso parlare di vettore tangente o normale nel punto

[DavideGenova1]

Grazie, Luca!!! Mi era sorto il dubbio perché, da come la mette la Wikipedia, sarebbe quasi sembrata una proprietà generale del vettore gradiente, ma ho fatto bene a non fidarmi.