Gli spazi totalmente limitati sono contenuti nei compatti?
Un esempio di spazio metrico totalmente limitato può essere l'intervallo $(0,1)$. Questo spazio non è compatto, gli manca la completezza, ma passando alla sua chiusura (rispetto alla topologia di $RR$) troviamo $[0,1]$ che è compatto.
Mi stavo chiedendo se questa fosse in qualche modo una situazione generale.
Nel senso: se abbiamo uno spazio metrico $X$ totalmente limitato, siamo in grado di trovare uno spazio compatto $Y$ contenente una copia di $X$ come sottospazio denso? A naso direi che la risposta è si: basta "aggiungere" i limiti delle successioni di Cauchy... Però non saprei come procedere.
Mi stavo chiedendo se questa fosse in qualche modo una situazione generale.
Nel senso: se abbiamo uno spazio metrico $X$ totalmente limitato, siamo in grado di trovare uno spazio compatto $Y$ contenente una copia di $X$ come sottospazio denso? A naso direi che la risposta è si: basta "aggiungere" i limiti delle successioni di Cauchy... Però non saprei come procedere.
Risposte
Conosci il "teorema di completamento"? Potrebbe dare una risposta alla tua domanda.
Potrebbe dare una risposta eccome. Allora, il teorema che citavi dice: dato uno spazio metrico $X$, esiste (ed è unico a meno di isometrie) uno spazio completo $X^(**)$, contenente una copia di $X$ come sottospazio denso.
E allora se $X$ è totalmente limitato, $X^(**)$ sarà compatto: infatti ogni successione in $X$ ha un'estratta di Cauchy, e con un po' di disuguaglianze triangolari troviamo un'estratta di Cauchy in tutte le successioni di $X^(**)$. Benissimo!
Quindi, se ho ragionato correttamente, gli spazi totalmente limitati sono (a meno di isometrie) esattamente tutti i sottoinsiemi degli spazi compatti. (Se $K$ compatto, $S\subK$, allora $K-S$ magari non sarà completo ma di sicuro resta tot.limit.; invece se $X$ è totalmente limitato applichiamo il ragionamento di sopra).
Ora il prossimo passo che vorrei compiere è capire cosa sono le funzioni uniformemente continue definite su spazi tot.limitati.
A questo punto, presumo che queste siano tutte e sole delle restrizioni di funzioni continue definite su compatti. Può essere?
E allora se $X$ è totalmente limitato, $X^(**)$ sarà compatto: infatti ogni successione in $X$ ha un'estratta di Cauchy, e con un po' di disuguaglianze triangolari troviamo un'estratta di Cauchy in tutte le successioni di $X^(**)$. Benissimo!
Quindi, se ho ragionato correttamente, gli spazi totalmente limitati sono (a meno di isometrie) esattamente tutti i sottoinsiemi degli spazi compatti. (Se $K$ compatto, $S\subK$, allora $K-S$ magari non sarà completo ma di sicuro resta tot.limit.; invece se $X$ è totalmente limitato applichiamo il ragionamento di sopra).
Ora il prossimo passo che vorrei compiere è capire cosa sono le funzioni uniformemente continue definite su spazi tot.limitati.
A questo punto, presumo che queste siano tutte e sole delle restrizioni di funzioni continue definite su compatti. Può essere?
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