Gli autospazi associati ad un autovalore sono unici?
Salve a tutti.
Sono un Ingegnere ma ho un problema puramente matematico sulla diagonalizzazione di una matrice A.
Spero mi possiate aiutare.
Tale matrice 6x6 ha un autovalore di molteplicità 4 ed altri due autovalori di molteplicità 1.
Il mio problema nasce dal fatto che gli autovettori associati all'autovalore di molteplicità 4,
per un particolare set di valori numerici assegnati alle variabili (ovvero quando una delle variabili che chiamerò qui x diventa 0) diventano linearmente dipendenti.
Praticamente tt gli autovettori associati al mio autovalore, determinati dall'autospazio calcolato come A*Ri=Lambdai*Ri vanno in crisi in questo caso particolare.
DOMANDA: a questo punto è possibile cercare gli autovettori in un altro autospazio, sempre associato allo stesso autovalore?
Cambiare la parametrizzazione può aiutare (per adesso a me pare di no)
OSSERVAZIONE: se nella matrice di partenza A annullo x e calcolo gli autovettori, questi sono sempre linearmente indipendenti e quindi vanno bene. Di conseguenza è come se esistesse una soluzione per la mia "discontinuità"
Grazie per il chiarimento.
Purtroppo non sono un matematico e quindi sicuramente sto facendo domande sceme.
Sono un Ingegnere ma ho un problema puramente matematico sulla diagonalizzazione di una matrice A.
Spero mi possiate aiutare.
Tale matrice 6x6 ha un autovalore di molteplicità 4 ed altri due autovalori di molteplicità 1.
Il mio problema nasce dal fatto che gli autovettori associati all'autovalore di molteplicità 4,
per un particolare set di valori numerici assegnati alle variabili (ovvero quando una delle variabili che chiamerò qui x diventa 0) diventano linearmente dipendenti.
Praticamente tt gli autovettori associati al mio autovalore, determinati dall'autospazio calcolato come A*Ri=Lambdai*Ri vanno in crisi in questo caso particolare.
DOMANDA: a questo punto è possibile cercare gli autovettori in un altro autospazio, sempre associato allo stesso autovalore?
Cambiare la parametrizzazione può aiutare (per adesso a me pare di no)
OSSERVAZIONE: se nella matrice di partenza A annullo x e calcolo gli autovettori, questi sono sempre linearmente indipendenti e quindi vanno bene. Di conseguenza è come se esistesse una soluzione per la mia "discontinuità"
Grazie per il chiarimento.
Purtroppo non sono un matematico e quindi sicuramente sto facendo domande sceme.
Risposte
Mi sembra di capire che tu abbia una matrice dipendente da un parametro. Tipicamente, esisteranno dei valori del parametro per cui la matrice è diagonalizzabile, quando la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale a quella geometrica, la dimensione dell'autospazio associato. Viceversa, esisteranno anche dei valori del parametro per cui la matrice non è diagonalizzabile, quando esiste anche un solo autovalore per cui la molteplicità algebrica non è uguale a quella geometrica. Ebbene, in questo caso non puoi farci niente. Ovviamente, dipende dalla matrice. Voglio dire, bisogna discutere la sua diagonalizzabilità in funzione del parametro. Per esempio, se gli autovalori sono tutti distinti, la diagonalizzabilità è assicurata. Viceversa, è necessario determinare la dimensione dell'autospazio associato e sperare che sia uguale alla molteplicità algebrica dell'autovalore preso in considerazione.
Ok..per favore aiutami a capirci un pò meglio.
Come faccio a calcolare la molteplicità geometrica dell'autospazio?
Con molteplicità geometrica intendi in numero di parametri liberi dell'autospazio? Se è così
per il mio autovalore "maledetto" di molteplicità algebrica 4 il numero di parametri dell'autospazio associato è 4.
Ma il fatto che se assegno al paramentro valore nullo nella matrice mi viene una diagonalizzazione corretta cosa può
implicare?
Grazie mille.
Sn un pò alla disperazione
Come faccio a calcolare la molteplicità geometrica dell'autospazio?
Con molteplicità geometrica intendi in numero di parametri liberi dell'autospazio? Se è così
per il mio autovalore "maledetto" di molteplicità algebrica 4 il numero di parametri dell'autospazio associato è 4.
Ma il fatto che se assegno al paramentro valore nullo nella matrice mi viene una diagonalizzazione corretta cosa può
implicare?
Grazie mille.
Sn un pò alla disperazione
Forse mi rispondo solo M=(A-Lambda*I)
Numero colonne M=rank(M)+ker (M)
di conseguenza Numero colonne pari a 6
rank(M)=2 (riducendo a scala solo le prime 2 righe contengono elementi)
quindi dim(ker(M))=6-2=4 molteplicità geometrica, che coincide con quella algebrica....
Se ho fatto bene quindi la mia matrice dovrebbe essere diagonalizzabile per qualsiasi valore assegnato a parametro x
e confermare il fatto che se pongo x=0 posso comunque diagolanizzare.
Mi confermi il ragionamento?
Grazie
Numero colonne M=rank(M)+ker (M)
di conseguenza Numero colonne pari a 6
rank(M)=2 (riducendo a scala solo le prime 2 righe contengono elementi)
quindi dim(ker(M))=6-2=4 molteplicità geometrica, che coincide con quella algebrica....
Se ho fatto bene quindi la mia matrice dovrebbe essere diagonalizzabile per qualsiasi valore assegnato a parametro x
e confermare il fatto che se pongo x=0 posso comunque diagolanizzare.
Mi confermi il ragionamento?
Grazie
Il ragionamento è quello. Tuttavia, sarebbe meglio vedere la matrice, non sono sicuro che tu abbia contemplato tutti i valori del parametro che potrebbero presentare dei problemi. Certo, se sei interessato alla diagonalizzabilità solo quando il parametro è nullo e se, in questo caso, l'unico autovalore multiplo soddisfa la condizione di cui si è parlato in precedenza, allora il problema è concettualmente risolto.
Questa è la matrice
n1 (oppure n2, non contemporaneamente) possono andare a 0.
Anche V e k possono andare a 0.
Il problema ora si sta scatenando con n1.
Riesci a compilare il Tex?
Io ho esportato da Maple.
L'autovalore con molteplicità 4 è V
n1 (oppure n2, non contemporaneamente) possono andare a 0.
Anche V e k possono andare a 0.
Il problema ora si sta scatenando con n1.
Riesci a compilare il Tex?
Io ho esportato da Maple.
L'autovalore con molteplicità 4 è V
No, non la vedo.
E' scritto un po spartano ma dovrebbe rendere l'idea...
Grazie
Grazie
Probabilmente la matrice è questa:
Tuttavia, come puoi facilmente immaginare, non credo troverai qualcuno disposto a discuterne la diagonalizzabilità. Quindi, dovresti cercare di sintetizzare meglio il problema, sempre che sia possibile farlo.
Tuttavia, come puoi facilmente immaginare, non credo troverai qualcuno disposto a discuterne la diagonalizzabilità. Quindi, dovresti cercare di sintetizzare meglio il problema, sempre che sia possibile farlo.
Infatti non credo sia possibile sintetizzarlo
ok grazie per le informazioni...sono 3 giorni che provo a diagonalizzarla per ogni set di paramentri..
se ci riesco ti aggiorno
ok
grazie per le informazioni...sono 3 giorni che provo a diagonalizzarla per ogni set di paramentri..se ci riesco ti aggiorno
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