Gli assiomi di separazione e le loro implicazioni
Presumendo che sapete le definizioni di (T1) - (T4) per gli spazi topologici (wikipedia: http://it.wikipedia.org/wiki/Assioma_di_separazione), ho provato a dimostrare le implicazioni principali che sussistono tra di loro. Sono corrette? 
Gli esami si avvicinano...
(T2) $=>$ (T1):
Questa è semplice da dimostrare, poiché per definizione di spazio (T2) per ogni due punti $p \ne q$ in $X$ esistono $U,V$ aperti, $p \in U$ e $q \in V$, per cui $U \cap V = \emptyset$.
Ma ciò implica direttamente che per ogni $p \ne q$: $U \cap {q} = \emptyset$, poiché ${q} \subset V$.
Ma questo è equivalente a (T1).
(T1) non implica necessariamente (T2):
Controesempio: $RR$ con la topologia cofinita.
(T1): Siano $p,q \in RR$, $p \ne q$. L'insieme $RR \setminus {q}$ è un intorno aperto di $p$ che non contiene $q$.
non (T2):
Siano $p,q \in RR$, $p \ne q$. Sia inoltre $p \in U$, $q \in V$, con $U,V$ aperti.
Per cui esistono $p_1 ,..., p_n, q_1, ..., q_m \in X$ per cui
$U = RR \setminus {p_1,...,p_n}$, $V = RR \setminus {q_1,...,q_m}$
$=>U \cap V = RR \setminus {p_1,...,p_n,q_1,...,q_m} \ne \emptyset$ poiché $RR$ ha cardinalità infinita.
Quindi i punti $p$ e $q$ non possiedono intorni aperti e disgiunti.
(T1) $<=>$ Tutti i punti $p \in X$ sono chiusi
"$=>$": Sia $p \in X$. Quindi $ \forall q \in X \setminus {p}$, $\exists U_q \subset X$ aperto per cui $U_q \cap {p} = \emptyset$.
$=> \bigcup_{q \in X \setminus {p}} U_q = X \setminus {p}$ è aperto per proprietà di spazio topologico.
"$\Leftarrow$": ${p}$ chiuso $=> X \setminus {p}$ aperto.
$=> \forall q \in X \setminus {p} : {p} \cap (X \setminus {p}) = emptyset$
Quindi $X \setminus {p}$ è un intorno aperto di $q$ che non contiene $p$, perciò (T1).
Seguono altre dimostrazioni...
Grazie mille per l'aiuto!
Gli esami si avvicinano...
(T2) $=>$ (T1):
Questa è semplice da dimostrare, poiché per definizione di spazio (T2) per ogni due punti $p \ne q$ in $X$ esistono $U,V$ aperti, $p \in U$ e $q \in V$, per cui $U \cap V = \emptyset$.
Ma ciò implica direttamente che per ogni $p \ne q$: $U \cap {q} = \emptyset$, poiché ${q} \subset V$.
Ma questo è equivalente a (T1).
(T1) non implica necessariamente (T2):
Controesempio: $RR$ con la topologia cofinita.
(T1): Siano $p,q \in RR$, $p \ne q$. L'insieme $RR \setminus {q}$ è un intorno aperto di $p$ che non contiene $q$.
non (T2):
Siano $p,q \in RR$, $p \ne q$. Sia inoltre $p \in U$, $q \in V$, con $U,V$ aperti.
Per cui esistono $p_1 ,..., p_n, q_1, ..., q_m \in X$ per cui
$U = RR \setminus {p_1,...,p_n}$, $V = RR \setminus {q_1,...,q_m}$
$=>U \cap V = RR \setminus {p_1,...,p_n,q_1,...,q_m} \ne \emptyset$ poiché $RR$ ha cardinalità infinita.
Quindi i punti $p$ e $q$ non possiedono intorni aperti e disgiunti.
(T1) $<=>$ Tutti i punti $p \in X$ sono chiusi
"$=>$": Sia $p \in X$. Quindi $ \forall q \in X \setminus {p}$, $\exists U_q \subset X$ aperto per cui $U_q \cap {p} = \emptyset$.
$=> \bigcup_{q \in X \setminus {p}} U_q = X \setminus {p}$ è aperto per proprietà di spazio topologico.
"$\Leftarrow$": ${p}$ chiuso $=> X \setminus {p}$ aperto.
$=> \forall q \in X \setminus {p} : {p} \cap (X \setminus {p}) = emptyset$
Quindi $X \setminus {p}$ è un intorno aperto di $q$ che non contiene $p$, perciò (T1).
Seguono altre dimostrazioni...
Grazie mille per l'aiuto!
Risposte
(T1) & (T3) $=>$ (T2)
(T1) $<=>$ Putti i punti sono chiusi
(T3) $=>$ $\forall p,q \in X$ con $p \ne q$, $\exists U,V$ aperti, $p \in U$, $A={q} \subset V$ chiuso, per cui $U \cap V = \emptyset$.
$=>$ (T2)
(T1) & (T4) $=>$ (T3)
(T1) $<=>$ Putti i punti sono chiusi
(T4) $=>$ $\forall A,B \subset X$ chiusi con $A \cap B = \emptyset$, $\exists U,V$ aperti, $A \subset U$, $B \subset V$, per cui $U \cap V = \emptyset$.
Poniamo $A :={p}$ chiuso, quindi $\exists U,V$ aperti, ${p} \subset U$, $B \subset V$, per cui $U \cap V = \emptyset$.
$=>$ (T3)
Queste vi sembrano corrette a grandi linee?
(T1) $<=>$ Putti i punti sono chiusi
(T3) $=>$ $\forall p,q \in X$ con $p \ne q$, $\exists U,V$ aperti, $p \in U$, $A={q} \subset V$ chiuso, per cui $U \cap V = \emptyset$.
$=>$ (T2)
(T1) & (T4) $=>$ (T3)
(T1) $<=>$ Putti i punti sono chiusi
(T4) $=>$ $\forall A,B \subset X$ chiusi con $A \cap B = \emptyset$, $\exists U,V$ aperti, $A \subset U$, $B \subset V$, per cui $U \cap V = \emptyset$.
Poniamo $A :={p}$ chiuso, quindi $\exists U,V$ aperti, ${p} \subset U$, $B \subset V$, per cui $U \cap V = \emptyset$.
$=>$ (T3)
Queste vi sembrano corrette a grandi linee?
"pat87":
... Putti i punti sono chiusi...
Ti capisco, ma non è il caso di dire parolacce!
Comunque le dimostrazioni sono corrette. Ti mancano solo due esempi: uno spazio T2 non T3, e uno spazio T3 non T4. Tieni conto però che non sono immediatissimi, quindi io non ci perderei troppo tempo, col rischio di trascurare teoremi fondamentali. (Traduzione: non penso che all'esame ti chiederanno questi esempi, mentre sono sicuro che ti potranno chiedere altri teoremi su questo argomento!). ciao!
"dissonance":
(Traduzione: non penso che all'esame ti chiederanno questi esempi, mentre sono sicuro che ti potranno chiedere altri teoremi su questo argomento!).
Del tipo?
Magari:
- Spazi metrici e compatti sono spazi normali?
- Il prodotto di spazi regolari o di Hausdorff è uno spazio regolare risp. Hausdorff?
- Ogni spazio normale e che soddisfa il secondo assioma di numerabilità è uno spazio metrizzabile?
"pat87":
...
- Ogni spazio normale e che soddisfa il secondo assioma di numerabilità è uno spazio metrizzabile?
si beh io pensavo a qualcosa di più semplice, come si comportano questi assiomi rispetto alle topologie prodotto, di sottospazio, e quoziente, il fatto che gli spazi compatti e T2 sono T4, e il fatto che un sottospazio compatto di uno spazio T2 è chiuso. Per quello che ho visto io, sugli assiomi di separazione si fa sempre una di queste domande (contando le dimostrazioni che hai scritto prima). Questo naturalmente vale per la facoltà che frequento io, quindi ...da prendere con le pinze! lo sai tu qual'è il programma del tuo corso!
in bocca al lupo!
"dissonance":
si beh io pensavo a qualcosa di più semplice, come si comportano questi assiomi rispetto alle topologie prodotto, di sottospazio, e quoziente, il fatto che gli spazi compatti e T2 sono T4, e il fatto che un sottospazio compatto di uno spazio T2 è chiuso. Per quello che ho visto io, sugli assiomi di separazione si fa sempre una di queste domande (contando le dimostrazioni che hai scritto prima). Questo naturalmente vale per la facoltà che frequento io, quindi ...da prendere con le pinze! lo sai tu qual'è il programma del tuo corso!
in bocca al lupo!
Si infatti, ma più o meno un corso di topologia è sempre su queste cose e quindi le domande più frequenti non varieranno molto...
A parte che noi abbiamo anche accenni sulla topologia algebrica: omotopia, gruppo fondamentale e rivestimenti...quindi potrebbe chiedere meno di topologia classica...
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