Giustificazione su spazio congiungente

[nato_pigro1]

sono in $P^5$

Ho un piano $L$ e un punto $Q$ esterno ad esso. So che $J(L,Q)$, cioè lo spazio generato dal piano e dal punto è un $S_3$

Come posso giustificare che questo $S_3$, chiamiamolo $T$ è il luogo geometrico di tutte le rette passanti per $Q$ e per un punto di $L$?

Io pensavo di fare così:
$T=J(L,Q)$, ma $L$ è l'unione di tutti i sui punti, $L=uuu_{P in L}P$ quindi $T=uuu_{P in L} J(P,Q)$, è corretto questo passaggio?

[cirasa]

Mah, non lo so, proverei a giustificarlo meglio. Non mi convince.

La mia idea è provare la doppia inclusione.

L'inclusione $uuu_{P in L} J(P,Q)\subset T$ mi sembra abbastanza semplice. Vediamo l'altra inclusione.

Se $R\in T$, secondo me, si può provare che la retta $J(R,Q)$ congiungente $R$ con $Q$ interseca $L$ in un punto $P$ (anche se non l'ho fatto, ma secondo me funziona). Quindi $J(R,Q)=J(P,Q)$ e perciò $R\in uuu_{P in L} J(P,Q)$.

Prova un po'...

[nato_pigro1]

si hai ragione, mi convince di più così anche a me.

Anche se in modo sgraziato il pezzo che manca direi che lo si più giustificare così:
Prendo $P'inL$ e considero $J(P',R,Q)$ è un $S_2$ che interseca $L$ in almeno un punto ($P'$). Ora considero lo spazio generato da $J(P', R, Q, L)$, se $J(P',R,Q)$ interseca $L$ solo un punto, per Grassman, avrei che la dimensione di $J(P',R,Q)$ è 4 il che è assurdo perchè i punti generatori stanno tutti i $T$ che ha dimensione $3$, per cui l'intersezione di cui sopra deve avere dimensione almeno $2$, cioè i due piani si intersecano in una retta e quindi ogni retta di $J(P', R, Q)$ tra cui $J(R, Q)$ deve intersecare il piano $L$.

[cirasa]

Tutto ok.
Per pignoleria, ti segnalo che il tuo ragionamento funziona se il punto $P'\in L$ lo prendi diverso da $R$ e in modo che $J(P',R,Q)$ sia un $S_2$.

Vabbè che se così non fosse avresti che $P'=R\in L$ (e in questo caso hai finito) oppure $P'\in J(R,Q)$ (ma anche in questo caso hai finito, perchè segue che $R\in J(R,Q)=J(P',Q)$).

Ciao!