[geometria]spazi tangenti
oggi finiti quasi tutti gli esami in una giornata in cui potevo dormire e avrei fatto di più, mi è caduto l'occhio sul libro di geometria 2 del sernesi e stavo leggendo... visto che geometria differenziale mi aspetta a ottobre... ecco mi è venuto un dubbio di mia ignoranza...
non riesco a capire una cosa:
definizione 1:
con $chi(X,p)$ denotiamo l'insieme i cui elementi sono funzioni differenziabili a valori reali che sono definite in qualche intorno di p in X
definizione 2:
"Sia X una varietà differenziale e sia p in X. Un vettore tngente a X in p è l'applicazione $v:chi(X,p)->RR$ tale che
i)$v(aF+bG)=av(F)+bv(G)
ii)$v(FG)=v(F)G(p)+F(p)v(G)
$AAF,G\in\chi(X,p)$ e $AAa,binRR$
L'insieme di tutti i vettori tangenti a X in p si denota con $T_p(X)$ e si chiama spazio tangente a X in p"
quindi ponendo $(v+w)(F)=v(F)+w(F)$ e $(alphav)(F)=alpha(v(F))$ abbiamo che su $T_p(X)$ è definita una struttura di spazio vettoriale reale con $dim(T_p(X)=dimX$.
la base di questo spazio, se $phi:U_p->RR^n$ è una carta locale in un intorno di p $U_p$ e siano $x_1,...,x_n$ le funzioni coordinate locali definite da $phi$. Allora una base per $T_p(X)$ è $(del/(delx_1))_p,...,(del/(delx_n))_p$
ora vi chiedo una cosa che non riesco a inquadrare bene: cioè questa è la prima volta che devo vedere così di fino le derivate in più variabili... mi potreste fare un esempio concreto con due diverse basi? cioè ok la logica non mi pare che si scosti troppo da quella del duale, però quello che mi sfugge è cosa cambia se derivo con un altro set di coordinate locali... qualcuno potrebbe farmi un esempio banale? lo so che son domande stupide, però sarà il caldo sarà quello che volete ma non riesco a inquadrare la questione...
nel senso se ho $v=a_1(del/(delx_1))_p+...+a_n(del/(delx_n))_p$, allora $v(F)=a_1(del/(delx_1))_p(F)+...+a_n(del/(delx_n))_p(F)
con $a_i=v(x_i)$ a questo punto dico bene, ok in un altra base avrà un altra combinazione...! ma ho difficoltà a crearmi un esempio... purtroppo sul libro non c'è...
grazie infinite a chiunque potrà aiutarmi
buona serata
non riesco a capire una cosa:
definizione 1:
con $chi(X,p)$ denotiamo l'insieme i cui elementi sono funzioni differenziabili a valori reali che sono definite in qualche intorno di p in X
definizione 2:
"Sia X una varietà differenziale e sia p in X. Un vettore tngente a X in p è l'applicazione $v:chi(X,p)->RR$ tale che
i)$v(aF+bG)=av(F)+bv(G)
ii)$v(FG)=v(F)G(p)+F(p)v(G)
$AAF,G\in\chi(X,p)$ e $AAa,binRR$
L'insieme di tutti i vettori tangenti a X in p si denota con $T_p(X)$ e si chiama spazio tangente a X in p"
quindi ponendo $(v+w)(F)=v(F)+w(F)$ e $(alphav)(F)=alpha(v(F))$ abbiamo che su $T_p(X)$ è definita una struttura di spazio vettoriale reale con $dim(T_p(X)=dimX$.
la base di questo spazio, se $phi:U_p->RR^n$ è una carta locale in un intorno di p $U_p$ e siano $x_1,...,x_n$ le funzioni coordinate locali definite da $phi$. Allora una base per $T_p(X)$ è $(del/(delx_1))_p,...,(del/(delx_n))_p$
ora vi chiedo una cosa che non riesco a inquadrare bene: cioè questa è la prima volta che devo vedere così di fino le derivate in più variabili... mi potreste fare un esempio concreto con due diverse basi? cioè ok la logica non mi pare che si scosti troppo da quella del duale, però quello che mi sfugge è cosa cambia se derivo con un altro set di coordinate locali... qualcuno potrebbe farmi un esempio banale? lo so che son domande stupide, però sarà il caldo sarà quello che volete ma non riesco a inquadrare la questione...
nel senso se ho $v=a_1(del/(delx_1))_p+...+a_n(del/(delx_n))_p$, allora $v(F)=a_1(del/(delx_1))_p(F)+...+a_n(del/(delx_n))_p(F)
con $a_i=v(x_i)$ a questo punto dico bene, ok in un altra base avrà un altra combinazione...! ma ho difficoltà a crearmi un esempio... purtroppo sul libro non c'è...
grazie infinite a chiunque potrà aiutarmi
buona serata
Risposte
giusto per essere precisi ed esplicitare le funzioni, sarebbe:
$v=a_1(del/(delx_1))_p+...+a_n(del/(delx_n))_p$, allora $v(F)=a_1(del/(delx_1))_(\phi(P))(F°\phi^(-1))+...+a_n(del/(delx_n))_(\phi(P))(F°\phi^(-1))
ditemi se siete d'accordo con il restyling della formula
Detto questo per trovare un'altra base credo basti cambiare carta... se cambi carta nella funzione sopra invece di $(F°\phi^(-1))(x)$ come ora avrai $(F°g^(-1))(x))$, con g un'altra carta... ci si potrebbe provare a calcolare come cambiano i coefficienti con il cambio di carta...
Nel caso di superfici in R^3 per esempio è evidente che ci sono più basi dello spazio tangente..
ps: beato te che hai finito gli esami!
$v=a_1(del/(delx_1))_p+...+a_n(del/(delx_n))_p$, allora $v(F)=a_1(del/(delx_1))_(\phi(P))(F°\phi^(-1))+...+a_n(del/(delx_n))_(\phi(P))(F°\phi^(-1))
ditemi se siete d'accordo con il restyling della formula
Detto questo per trovare un'altra base credo basti cambiare carta... se cambi carta nella funzione sopra invece di $(F°\phi^(-1))(x)$ come ora avrai $(F°g^(-1))(x))$, con g un'altra carta... ci si potrebbe provare a calcolare come cambiano i coefficienti con il cambio di carta...
Nel caso di superfici in R^3 per esempio è evidente che ci sono più basi dello spazio tangente..
ps: beato te che hai finito gli esami!
grazie Thomas per la risposta, si fino a qui a livello teorico ci sono arrivato, quello che volevo per chiarire bene soprattutto come si calcola la derivata cambiando carta, cioè vorrei vedere un esempio numerico magari in $RR^3$ per fissare per bene tutte le idee...
cioè se ho l'insieme $X=S^2$ per esempio che è una varietà differenziale, infatti costruisco il suo atlante con due carte locali (le proiezioni stereografiche)
bene allora il primo intorno sarà quindi $U_p=S^1\\{n}$ con p un punto sia questo che so il sud p=s=(0,0,-1) quindi la carta sarà $phi:U_p->RR^2$ tc $phi(x_1,x_2,x_3)=(x_1/(1-x_3),x_2/(1-x_3)))
ok quindi lo spazio tangente in p sarà dato da $v=(del/(delx_1))_(0,0,-1)+(del/(delx_2))_(0,0,-1)
quindi una funzione in questo spazio sarà rappresentata da $v(F)=a_1(del/(delx_1))_(0,0)(F°phi^(-1))+a_2(del/(delx_2))_(0,0)(F°phi^(-1))
con $a_1=v(x_1)=v(x_1/(1-x_3))$ e $a_2=v(x_2/(1-x_3))$
giusto?
bene allora il secondo intorno sarà quindi $U_p=S^1\\{s}$ con p un punto sia questo che so il sud p=n=(0,0,1) quindi la carta sarà $g:U_p->RR^2$ tc $g(y_1,y_2,y_3)=(y_1/(1+y_3),y_2/(1+y_3)))
ok quindi essendo $(x_1,x_2,x_3)$ le coordinate, lo spazio tangente in p sarà dato da $v=(del/(dely_1))_(0,0,1)+(del/(dely_2))_(0,0,1)
quindi una funzione in questo spazio sarà rappresentata da $v(F)=(del/(dely_1))_(0,0)(F°g^(-1))+(del/(dely_2))_(0,0)(F°g^(-1))
e una funzione si scriverà nel seguente modo giusto?
$v(F)=a_1(del/(dely_1))_(0,0)(F°g^(-1))+a_2(del/(dely_2))_(0,0)(F°g^(-1))
con $a_1=v(y_1)=v(y_1/(1+y_3))$ e $a_2=v(y_2/(1+y_3))$
prima di fare i calcoli volevo sapere quante cose ho sbagliato fino a qui
grazie ancora!
cioè se ho l'insieme $X=S^2$ per esempio che è una varietà differenziale, infatti costruisco il suo atlante con due carte locali (le proiezioni stereografiche)
bene allora il primo intorno sarà quindi $U_p=S^1\\{n}$ con p un punto sia questo che so il sud p=s=(0,0,-1) quindi la carta sarà $phi:U_p->RR^2$ tc $phi(x_1,x_2,x_3)=(x_1/(1-x_3),x_2/(1-x_3)))
ok quindi lo spazio tangente in p sarà dato da $v=(del/(delx_1))_(0,0,-1)+(del/(delx_2))_(0,0,-1)
quindi una funzione in questo spazio sarà rappresentata da $v(F)=a_1(del/(delx_1))_(0,0)(F°phi^(-1))+a_2(del/(delx_2))_(0,0)(F°phi^(-1))
con $a_1=v(x_1)=v(x_1/(1-x_3))$ e $a_2=v(x_2/(1-x_3))$
giusto?
bene allora il secondo intorno sarà quindi $U_p=S^1\\{s}$ con p un punto sia questo che so il sud p=n=(0,0,1) quindi la carta sarà $g:U_p->RR^2$ tc $g(y_1,y_2,y_3)=(y_1/(1+y_3),y_2/(1+y_3)))
ok quindi essendo $(x_1,x_2,x_3)$ le coordinate, lo spazio tangente in p sarà dato da $v=(del/(dely_1))_(0,0,1)+(del/(dely_2))_(0,0,1)
quindi una funzione in questo spazio sarà rappresentata da $v(F)=(del/(dely_1))_(0,0)(F°g^(-1))+(del/(dely_2))_(0,0)(F°g^(-1))
e una funzione si scriverà nel seguente modo giusto?
$v(F)=a_1(del/(dely_1))_(0,0)(F°g^(-1))+a_2(del/(dely_2))_(0,0)(F°g^(-1))
con $a_1=v(y_1)=v(y_1/(1+y_3))$ e $a_2=v(y_2/(1+y_3))$
prima di fare i calcoli volevo sapere quante cose ho sbagliato fino a qui
grazie ancora!
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