Geometria,problema con applicazioni lineari?

[Car4691]

Ragazzi scusate il disturbo, non riesco a risolvere un esercizio di geometria.
L'esercizio è questo:
Data l’applicazione lineare f : R^4 -------R^3 , la cui matrice, rispetto alle basi canoniche, è:

1 0 1 1
2 1 1 3 = A
1 1 0 2

Trovare una base di ker f e una base di im f .

Allora ho trovato la base dell'immagine ke è : im f =<(1, 2, 1), (0, 1, 1)>

Ma ora non riesco a trovare la base del nucleo,mi spiego meglio visto che la dimensione dell'immagine è 2 quella del nucleo deve essere di nuovo 2 dalla formula:

n= dim nucleo+dim immagine

Come faccio a determinare la base del nucleo???
Non riesco a risolvere il problema perkè negli esercizi precedenti la dimensione del nucleo veniva uno allora era facile,bastava risolvere il sistema e trovare la base del nucleo,ma ora come posso fare.

grazie anticipate e solo risp. serie

P.S il problema riporta i risultati e dice che la base del nucleo è : ker f = <(-1, -1, 0, 1), (-1, 1, 1, 0)>
come posso fare ad avere questa base?

[ciampax]

2 cose: 1) conviene che scrivi usando le formule; 2) ma di solito non è più facile determinare prima il nucleo? Cosa che si ottiene risolvendo il sistema $AX=0$ dove $X=(x\ y\ z \ t)^t$.

[kamal1]

una base del ker si ottiene risolvendo il sistema AX=A$((a),(b),(c),(d))$=$((0),(0),(0),(0))$
si ottengono le equazioni
$a+c+d=0$
$2a+b+c+3d=0$
$a+b+2d=0$
si vede che la prima equazione si ottiene sottraendo dalla seconda la terza
abbiamo $d=-1/2(a+b)$ e $c=1/2(b-a)$
quindi una base del ker è e=($(1,0,-1/2.-1/2),(0,1,1/2,-1/2)$)