Geometria:equazioni piani perpendicolari a retta

[kiblast]

Giorno a tutti, ho questo esercizio:

Scrivere l’equazione dei piani $\pi_1 , \pi_2 $ ortogonali alla retta r

$r: { (3x-2y+4z-3=0),(-x+y-3z=0):}

e passanti rispettivamente per i punti $P_1(-1,0,0) e P_2(0,0,1) $

ii) Calcolare la distanza tra $\pi_1 , \pi_2 $

Allora io ho trovato l'equazione parametrica della retta r sostitundo y=t

r: $ { (x=t-2),(y=t),(z=t/4-9/4):} $

quindi i 2 piani ortogonali sono

del tipo $ x+y+1/4z=k$

imponendo i passaggi per i punti mi trovo

$\pi_1: x+y+1/4z=-1$

$\pi_2: x+y+1/4z=1/4$

Visto che i piani sono paralleli la distanza è $ 1/4 - (-1) = 5/4 $

Giusto? è tutto corretto? Vi prego aiutatemi

[cirasa]

Giusta (a parte i conti che non ho controllato) la prima parte.
La seconda è sbagliata. La distanza fra due piani non si calcola sottraendo il termine noto, ma...

[kiblast]

"cirasa":Giusta (a parte i conti che non ho controllato) la prima parte.
La seconda è sbagliata. La distanza fra due piani non si calcola sottraendo il termine noto, ma...

...putroppo è proprio la distanza che non so calcolare...

[skyisoverus]

Ti basta calcolare la distanza tra i due punti in cui il piano 1 ed il piano 2 intersecano la retta.

[kiblast]

Grazie quindi risolvo i 2 sistemi

$P_3=\pi_1\capr: { (3x-2y+4z-3=0),(-x+y-3z=0),(x+y+1/4z=-1):}$

e

$P_4=\pi_2\capr: { (3x-2y+4z-3=0),(-x+y-3z=0),(x+y+1/4z=1/4):}$


ora ipotizzando che la retta interseca i 2 piani rispettivamente in

$p_1 ( 1,2,3) $ e $ p_2 (4,5,6)$ ( facendo i calcoli mi vengono dei numeri bruttini da scrivere )

la distanza la calcolo come la lunghezza del vettore $bar(P_3P_4) $ in questo modo

$ \sqrt[(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2] = \sqrt(27) = 3\sqrt3 $

giusto?

[skyisoverus]

Non ho seguito i calcoli perché vado di fretta, ma il concetto è giusto.

[kiblast]

"Sakineh":Non ho seguito i calcoli perché vado di fretta, ma il concetto è giusto.

GRazie mille