[Geometria] Triangolo rettangolo in un punto C non noto

[daniele912]

Salve a tutti!
Stavo affrontando il seguente esercizio di geometria:

Si considerino $A = ((1),(3),(3))$ , $ B = ((2),(4),(5))$; si indichi $C$ tale che il triangolo $ABC$ sia rettangolo in $C$

Riporto la soluzione dell'esercizio così come è svolto direttamente dalla mia dispensa, in modo che dal disegno si possa capire meglio:


Non ho capito come fa a determinarsi il vettore $g$ che praticamente è parallelo al vettore direttore della retta passante per $A$ e per $C$.
Vi chiedo di essere quanto più chiari possibile dal momento che ho iniziato da poco a svolgere esercizi di geometria.
Grazie a tutti coloro che risponderanno!

[vittorino70]

Il problema ha infinite soluzioni. E' sufficiente considerare la sfera di diametro AB : tutti i punti C della superficie di tale sfera - distinti da A e B - sono soluzioni del quesito. Se si vuole una soluzione specifica occorre fissare la direzione del vettore \(\displaystyle \vec{AC} \) o di \(\displaystyle \vec{BC} \). Per esempio, come fa il tuo testo, si può prendere \(\displaystyle \vec{AC} \) parallelo al vettore g ( ovvero parallelo all'asse x). Inoltre il vettore g deve essere perpendicolare al vettore \(\displaystyle \vec{BC} \). Allora, posto \(\displaystyle C=^t(x,y,z) \), si ha \(\displaystyle \vec{AC}=^t(x-1,y-3,z-3), \vec{BC}=^t(x-2,y-4,z-5)\)
Imponendo le due condizioni suddette si ha il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}^t(x-2,y-4,z-5)\cdot ^t(1,0,0)=0\\ \frac{1}{x-1}=\frac{0}{y-3}\\\frac{1}{x-1}=\frac{0}{z-3}\end{cases} \)
da cui la soluzione \(\displaystyle x=2,y=3,z=3 \)
In definitiva hai \(\displaystyle C \equiv ^t(2,3,3) \)