[Geometria] Significato da dare al variare di due incognite.
Io ho un fascio di piani generato da una retta, nella classica equazione di un fascio di piani nello spazio:
$\lambda(ax + by+ cz + d) + \mu (a' x + b' y+ c' z + d') = 0$
Sostituisco a $x, y, z$ le coordinate di un punto, che non so davvero a questo punto come inquadrare geometricamente (è banale, ma il mio discorso è un po' più ampio
).
Mi viene un' equazione di secondo grado in due incognite, $\lambda$ e $\mu$. Che significato devo dare alle infinite soluzioni di quest' equazione? Al loro variare cosa determinano?
$\lambda(ax + by+ cz + d) + \mu (a' x + b' y+ c' z + d') = 0$
Sostituisco a $x, y, z$ le coordinate di un punto, che non so davvero a questo punto come inquadrare geometricamente (è banale, ma il mio discorso è un po' più ampio
).Mi viene un' equazione di secondo grado in due incognite, $\lambda$ e $\mu$. Che significato devo dare alle infinite soluzioni di quest' equazione? Al loro variare cosa determinano?
Risposte
"turtle87":
Io ho un fascio di piani generato da una retta, nella classica equazione di un fascio di piani nello spazio:
$\lambda(ax + by+ cz + d) + \mu (a' x + b' y+ c' z + d') = 0$
Sostituisco a $x, y, z$ le coordinate di un punto, che non so davvero a questo punto come inquadrare geometricamente (è banale, ma il mio discorso è un po' più ampio
Mi viene un' equazione di secondo grado in due incognite, $\lambda$ e $\mu$. Che significato devo dare alle infinite soluzioni di quest' equazione? Al loro variare cosa determinano?
Ricordati che l'equazione cartesiana di un piano è definito a meno di costanti.
Esempio:
il piano di equazione
$2x - y + z - 1 = 0$
coincide con il piano
$4x - 2y + 2z - 2 = 0$
Quindi in questo caso le "infinito alla 1" soluzioni indicano lo stesso piano?
Ho provato a esplicitare, però, e sono rimasto comunque poco convinto:
ti faccio vedere cosa ho fatto, così potrai correggermi.
Ho il generico piano del fascio, che è individuato da una retta, o, il che è lo stesso, da due piani:
$\lambda (ax + by+ cz + d) +\mu (a'x + b'y + c'z + d') = 0$
Esplicitando e raccogliendo sulla stessa incognita:
$ (\lambda a + \mu a') x + (\lambda b + \mu b') y + (\lambda c + \mu c') z + (d + d') = 0$
Siccome, nell'equazione, $\lambda$ dipende da $\mu$, per questo motivo ogni equazione ottenuta indica lo stesso piano?
Ho provato a esplicitare, però, e sono rimasto comunque poco convinto:
ti faccio vedere cosa ho fatto, così potrai correggermi.
Ho il generico piano del fascio, che è individuato da una retta, o, il che è lo stesso, da due piani:
$\lambda (ax + by+ cz + d) +\mu (a'x + b'y + c'z + d') = 0$
Esplicitando e raccogliendo sulla stessa incognita:
$ (\lambda a + \mu a') x + (\lambda b + \mu b') y + (\lambda c + \mu c') z + (d + d') = 0$
Siccome, nell'equazione, $\lambda$ dipende da $\mu$, per questo motivo ogni equazione ottenuta indica lo stesso piano?
"Sergio":
$\lambda$ e $\mu$ individuano un piano. Al loro variare, cambia il piano.
Non è detto però che cambi sempre.
Esempio:
$lambda (x+y-z+1) + mu (2x-y+3z-4)=0$
se prendi
$lambda = 1$ e $mu = 2$
e
$lambda = 2$ e $mu = 4$
ottieni lo stesso piano.
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