[Geometria] Scomposizione vettore
Ho questi due esercizzi, dei quali molti mi dicono che sono semplici, ma nessuno mi sa dare una mano per risolverli.
Primo: Siano v=i-3j, w=i+j+k. Scomporre v nella somma di un vettore parallelo a w con un vettore ortogonale a w.
Secondo: Siamo v=i+2j, w=i+j-k. Scomporre i nella somma di un vettore complanare con v e w e con un vettore ortogonale a v e w.
So che possono sembrare banali, ma dato che sto studiando praticamente da autodidatta mi mettono in difficoltà (abbiate pazienza
)
Grazie 1000!
Primo: Siano v=i-3j, w=i+j+k. Scomporre v nella somma di un vettore parallelo a w con un vettore ortogonale a w.
Secondo: Siamo v=i+2j, w=i+j-k. Scomporre i nella somma di un vettore complanare con v e w e con un vettore ortogonale a v e w.
So che possono sembrare banali, ma dato che sto studiando praticamente da autodidatta mi mettono in difficoltà (abbiate pazienza
)Grazie 1000!
Risposte
"Ziko":
Primo: Siano v=i-3j, w=i+j+k. Scomporre v nella somma di un vettore parallelo a w con un vettore ortogonale a w.
Prima possibilità: lo fai a mano con un procedimento intuitivo.
Seconda possibilità: formula generale
$v =
"Ziko":
Secondo: Siano v=i+2j, w=i+j-k. Scomporre i nella somma di un vettore complanare con v e w e con un vettore ortogonale a v e w.
Stessa cosa ma devi sottrarre le proiezioni su due vettori.
Grazie della risposta, ho qualche perplessità:
Non capisco cosa sono i simboli "<" "," e ">" in mezzo all'equazione.
Inoltre alla fine devo rimanere con qualcosa di questo genere:
$v=u1+u2$
dove u1 e u2 sono dei vettori dei quali si conoscono tutte e tre le componenti i, j e k, non riesco a capire i procedimenti che hai usato e, non conosco le formula generale, possibile che sul libro non ci sia?
Grazie!
Non capisco cosa sono i simboli "<" "," e ">" in mezzo all'equazione.
Inoltre alla fine devo rimanere con qualcosa di questo genere:
$v=u1+u2$
dove u1 e u2 sono dei vettori dei quali si conoscono tutte e tre le componenti i, j e k, non riesco a capire i procedimenti che hai usato e, non conosco le formula generale, possibile che sul libro non ci sia?
Grazie!
Il prodotto scalare (la proiezione, a meno di un modulo di $w$)
$ < v, w> $ indica il prodotto scalare tra i vettori $v $ e $ w $ .
Mi sembra che nell'ultima parte della formula di irenze manchi qualcosa..
Mi sembra che nell'ultima parte della formula di irenze manchi qualcosa..
può essere, ho citato a memoria.
corretto, mancava un $w$!
corretto, mancava un $w$!
La formula corretta dovrebbe essere : $v = *w/||w||^2 $ +$(v - *w/||w||^2 )$
La prima parte è un vettore proporzionale al vettore $w$ ed è di modulo la proiezione di $v$ su $w $ opportunamente normalizzata perchè $w$ non è un versore, la seconda invece è un vettore perpendicolare al vettore $w$ e non è altro che il vettore differenza tra $v$ e quello appena ottenuto.
Se fai un disegno lo capisci subito.
Quindi $ = 1-3=-2$ ; $||w||^2= 1+1+1=3 $ .
pertanto la scomposizione è :
$v =-2/3(1,1,1) +[(1,-3,0)+2/3(1,1,1)]$= $(-2/3,-2/3,-2/3) +(5/3,-7/3,2/3) $ e il primo vettore è proporzionale a $w $ e il secondo è propio perpendicolare a $w$ ; infatti se faccio il prodotto scalare tra i due ottengo : $5/3-7/3+2/3 = 0 $ come giusto che sia .
Inoltre la somma di questi due vettori è proprio ancora ( meno male !! ) il vettore $v =(1,-3,0)$ .
Ho preferito indicare i vettori senza uso dei versori i,j,k ma racchiudendo tra parentesi le loro componenti.
OK ?
La prima parte è un vettore proporzionale al vettore $w$ ed è di modulo la proiezione di $v$ su $w $ opportunamente normalizzata perchè $w$ non è un versore, la seconda invece è un vettore perpendicolare al vettore $w$ e non è altro che il vettore differenza tra $v$ e quello appena ottenuto.
Se fai un disegno lo capisci subito.
Quindi $
pertanto la scomposizione è :
$v =-2/3(1,1,1) +[(1,-3,0)+2/3(1,1,1)]$= $(-2/3,-2/3,-2/3) +(5/3,-7/3,2/3) $ e il primo vettore è proporzionale a $w $ e il secondo è propio perpendicolare a $w$ ; infatti se faccio il prodotto scalare tra i due ottengo : $5/3-7/3+2/3 = 0 $ come giusto che sia .
Inoltre la somma di questi due vettori è proprio ancora ( meno male !! ) il vettore $v =(1,-3,0)$ .
Ho preferito indicare i vettori senza uso dei versori i,j,k ma racchiudendo tra parentesi le loro componenti.
OK ?
ok, quindi è giusto quello che avevo scritto
Grazie, adesso ho capito cos'era il (anche io potevo usare un attimo di fantasia) e, credo aver anche capito l'esercizio in generale. Adesso provo a fare il secondo e vediamo cosa viene fuori.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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