Geometria: retta incidente, errore di calcolo?
Ho svolto questo esercizio all'apparenza banale. Non riesco ad individuare l'errore (quindi, ahimè, se volete aiutarmi sarete costretti a rivedere tutti i passaggi).
Allora, in cosa consiste:
Siano $P(2,-2,1)$ un punto generico e $A(1,0,-1)$ e $B(0,1,1)$ due punti della retta $r$. [...] Trovare la retta $t$ passante per $P$, perpendicolare e incidente la retta $r$.
Esercizio fatto e strarifatto sul forum...
Comincio col trovare l'equazione del piano perpendicolare $r$. Una volta fatto ciò posso trovare il punto $Q$ di intersezione con la retta.
Due piani sono perpendicolari quando si verifica $(x,y,z)*(x',y',z') = 0$. In tal caso ottengo il vettore $AB=(-1,1,2)$ e quindi avrò: $(x,y,z)*(-1,1,2) = 0$.
Svolgo...
$x-y-2z+k=0$ passante per $P$: $k=-2$. Quindi:
$x-y-2z-2=0$ è l'equazione del piano perpendicolare la retta. (E secondo il risultato, come prima equazione mi trovo).
Qui arriva il bello, mi ricavo la retta $r$ in forma cartesiana, di modo da metterla a sistema con l'equazione del piano ricavata un attimo fa.
Secondo i miei calcoli $r$ dovrebbe essere:
{ ( x = 1-t ),( y=t ),( z=-1_2t ):}
svolgo...
{ ( x + y - 1 = 0 ),( z - 2y + 1 = 0 ):}
metto tutto in un unico sistema perché voglio trovare il punto $Q$ di intersezione:
{ ( x + y - 1 = 0 ),( z - 2y + 1 = 0 ), ( x-y-2z-2=0 ):}
e mi trovo questa soluzione: $Q(5/6,1/6,2/3)$. Metto i valori in una generica equazione, impongo il passaggio per $P$ in modo da trovare il valore $k$ e ottengo un'equazione del tipo: $5x + y +4z + 12 = 0$, errata secondo la soluzione dell'esercizio.
Credo che il procedimento sia corretto... allora dov'è mai l'errore?
Allora, in cosa consiste:
Siano $P(2,-2,1)$ un punto generico e $A(1,0,-1)$ e $B(0,1,1)$ due punti della retta $r$. [...] Trovare la retta $t$ passante per $P$, perpendicolare e incidente la retta $r$.
Esercizio fatto e strarifatto sul forum...
Comincio col trovare l'equazione del piano perpendicolare $r$. Una volta fatto ciò posso trovare il punto $Q$ di intersezione con la retta.
Due piani sono perpendicolari quando si verifica $(x,y,z)*(x',y',z') = 0$. In tal caso ottengo il vettore $AB=(-1,1,2)$ e quindi avrò: $(x,y,z)*(-1,1,2) = 0$.
Svolgo...
$x-y-2z+k=0$ passante per $P$: $k=-2$. Quindi:
$x-y-2z-2=0$ è l'equazione del piano perpendicolare la retta. (E secondo il risultato, come prima equazione mi trovo).
Qui arriva il bello, mi ricavo la retta $r$ in forma cartesiana, di modo da metterla a sistema con l'equazione del piano ricavata un attimo fa.
Secondo i miei calcoli $r$ dovrebbe essere:
{ ( x = 1-t ),( y=t ),( z=-1_2t ):}
svolgo...
{ ( x + y - 1 = 0 ),( z - 2y + 1 = 0 ):}
metto tutto in un unico sistema perché voglio trovare il punto $Q$ di intersezione:
{ ( x + y - 1 = 0 ),( z - 2y + 1 = 0 ), ( x-y-2z-2=0 ):}
e mi trovo questa soluzione: $Q(5/6,1/6,2/3)$. Metto i valori in una generica equazione, impongo il passaggio per $P$ in modo da trovare il valore $k$ e ottengo un'equazione del tipo: $5x + y +4z + 12 = 0$, errata secondo la soluzione dell'esercizio.
Credo che il procedimento sia corretto... allora dov'è mai l'errore?
Risposte
se puoi posta il risultato che vedo se a me esce
Ho fatto fare i calcoli a Maxima.
Mi dice che la soluzione del tuo ultimo sistema è $Q(5/6,1/6,-2/3)$ (c'è un segno $-$ nella terza coordinata rispetto a quello che hai trovato tu).
Comunque il risultato deve essere una retta. Quella che hai trovato tu certamente non lo è.
Edit: Avevo trascritto male una cifra.
Mi dice che la soluzione del tuo ultimo sistema è $Q(5/6,1/6,-2/3)$ (c'è un segno $-$ nella terza coordinata rispetto a quello che hai trovato tu).
Comunque il risultato deve essere una retta. Quella che hai trovato tu certamente non lo è.
Edit: Avevo trascritto male una cifra.
"cirasa":
Ho fatto fare i calcoli a Maxima.
Mi dice che la soluzione del tuo ultimo sistema è $Q(5/6,1/3,-2/3)$ (c'è un segno $-$ nella terza coordinata rispetto a quello che hai trovato tu).
Comunque il risultato deve essere una retta. Quella che hai trovato tu certamente non lo è.
Infatti è un piano, che messo a sistema con quello perpendicolare è una retta (una retta è rappresentata dalle equazioni di due piani). Questo è solo il secondo che mi devo trovare.
@4551: il risultato dovrebbe essere: $6x + 4y + z - 5 = 0$
Innanzitutto ti comunico che avevo sbagliato la trascrizione delle coordinate del punto. Ora ho corretto.
Non capisco come hai trovato quel piano. Il punto $Q$ non vi appartiene.
Il piano che stai cercando (il secondo, visto che il primo è quello che hai trovato prima) è quello passante per $P$ e contenente la retta $r$.
Non c'è necessità di trovare il punto $Q$.
Un altro modo di risolvere il tuo esercizio è determinare la retta congiungente $P$ con $Q$ (e in tal caso $Q$ ti serve).
Non capisco come hai trovato quel piano. Il punto $Q$ non vi appartiene.
Il piano che stai cercando (il secondo, visto che il primo è quello che hai trovato prima) è quello passante per $P$ e contenente la retta $r$.
Non c'è necessità di trovare il punto $Q$.
Un altro modo di risolvere il tuo esercizio è determinare la retta congiungente $P$ con $Q$ (e in tal caso $Q$ ti serve).
"cirasa":
Un altro modo di risolvere il tuo esercizio è determinare la retta congiungente $P$ con $Q$ (e in tal caso $Q$ ti serve).
Si, è quello che avevo intensione di fare.
"cirasa":
Ho fatto fare i calcoli a Maxima.
[...]
Avevo trascritto male una cifra.
Ovvero: "come trovare il modo di sbagliare i calcoli anche facendoli fare al calcolatore". Deve essere un corollario della legge di Murphy.
N.B.: [size=75]anche io sono un asso, nello sbagliare i calcoli...[/size]
io l'ho risolto non è diffcile, il risultato mi esce diverso dal tuo ma le condizioni sono rispettate allora:
La soluzione sarà l'intersezione di due piani uno passante per $P$ e perpendicolare a $r$, l'altro sarà il fascio di piani di asse $r$ passante per $P$.
Il risultato finale sarà:
${ ( 3x+y-4z=0 ),( x-y-2z-2=0 ):}$
Che rispetta il passaggio per $P(2,-2,1)$ (prova tu stesso) ed ha come vettore $Vs(-6,2,-4)$ che moltiplicato per il vettore della retta $Vr(-1,1,2)$ darà:
$(-6,2,-4)x(-1,1,2)=0$ quindi la condizione è rispettata e la retta è ortogonale ad r passante per P.
Un ringraziamento a mistake89 che mi ha insegnato molte cose su questo tipo di problemi, è grazie a lui se li so fare.
Se hai qualche problema chiedi pure.
La soluzione sarà l'intersezione di due piani uno passante per $P$ e perpendicolare a $r$, l'altro sarà il fascio di piani di asse $r$ passante per $P$.
Il risultato finale sarà:
${ ( 3x+y-4z=0 ),( x-y-2z-2=0 ):}$
Che rispetta il passaggio per $P(2,-2,1)$ (prova tu stesso) ed ha come vettore $Vs(-6,2,-4)$ che moltiplicato per il vettore della retta $Vr(-1,1,2)$ darà:
$(-6,2,-4)x(-1,1,2)=0$ quindi la condizione è rispettata e la retta è ortogonale ad r passante per P.
Un ringraziamento a mistake89 che mi ha insegnato molte cose su questo tipo di problemi, è grazie a lui se li so fare.
Se hai qualche problema chiedi pure.
"dissonance":
[quote="cirasa"]Ho fatto fare i calcoli a Maxima.
[...]
Avevo trascritto male una cifra.
Ovvero: "come trovare il modo di sbagliare i calcoli anche facendoli fare al calcolatore". Deve essere un corollario della legge di Murphy.
[/quote]
Sono riuscito a sbagliare anche facendo fare i conti al computer.
Credo di essere un caso irrecuperabile!
"m4551":
io l'ho risolto non è diffcile, il risultato mi esce diverso dal tuo ma le condizioni sono rispettate allora:
La soluzione sarà l'intersezione di due piani uno passante per $P$ e perpendicolare a $r$, l'altro sarà il fascio di piani di asse $r$ passante per $P$.
Il risultato finale sarà:
${ ( 3x+y-4z=0 ),( x-y-2z-2=0 ):}$
Che rispetta il passaggio per $P(2,-2,1)$ (prova tu stesso) ed ha come vettore $Vs(-6,2,-4)$ che moltiplicato per il vettore della retta $Vr(-1,1,2)$ darà:
$(-6,2,-4)x(-1,1,2)=0$ quindi la condizione è rispettata e la retta è ortogonale ad r passante per P.
Un ringraziamento a mistake89 che mi ha insegnato molte cose su questo tipo di problemi, è grazie a lui se li so fare.
Se hai qualche problema chiedi pure.
Si, ma sei sicuro vada bene così? Ho capito che devo trovare il piano di asse $r$, ma il risultato è differente :\... sono confuso x)
nella geometria quando si parla di intersezione di piani i risultati posso anche essere diversi da quelli del libro, magari perchè si usa un altro metodo, la cosa importante è che rispettano tutte le condizioni!
mi pare che la mia soluzione sia giusta, prova anche te e dimmi se ti esce
mi pare che la mia soluzione sia giusta, prova anche te e dimmi se ti esce
Ahhh finalmente l'ho risolto!!!
I procedimenti erano corretti, c'era solo una piccola accortenza (che non avevo notato) xD
Allora, dopo aver stabilito il piano perpendicolare la retta (non ripetiamolo), bisogna trovare quello contente la retta e passante per $P$, bisogna quindi:
- scrivere la retta in forma cartesiana
- determinare il fascio proprio di rette
- stabilire i direttori del piano
- imporli passanti per il punto.
Quindi:
$r$: $ { ( x + y - 1 = 0 ),( z - 2 y + 1 = 0 ):} $
il fascio: $k( x + y - 1 = 0 ) + h( z - 2 y + 1 = 0 ) = 0$
$kx + ky - k +hz - 2hy + h = 0$
con direttori $(k , k-2h , h)$
passa per P
$2k + 2k - k + h + 4h + h = 0$
$k = 6h$
i direttori saranno ora:
$(6h,6h-2h,h)$
$(6,4,1)$
quindi il piano sarà:
$6x+4y+z+d=0$
per stabilire $d$ imponiamo nuovamente il passaggio per $P$:
$d = - 5$
ed ecco il piano:
$6x+4y+z-5=0$.
Arrendersi? Mai
Và, te lo dedico @m4551
Grazie a tutti quelli che mi hanno aiutato (ed ho annoiato)
I procedimenti erano corretti, c'era solo una piccola accortenza (che non avevo notato) xD
Allora, dopo aver stabilito il piano perpendicolare la retta (non ripetiamolo), bisogna trovare quello contente la retta e passante per $P$, bisogna quindi:
- scrivere la retta in forma cartesiana
- determinare il fascio proprio di rette
- stabilire i direttori del piano
- imporli passanti per il punto.
Quindi:
$r$: $ { ( x + y - 1 = 0 ),( z - 2 y + 1 = 0 ):} $
il fascio: $k( x + y - 1 = 0 ) + h( z - 2 y + 1 = 0 ) = 0$
$kx + ky - k +hz - 2hy + h = 0$
con direttori $(k , k-2h , h)$
passa per P
$2k + 2k - k + h + 4h + h = 0$
$k = 6h$
i direttori saranno ora:
$(6h,6h-2h,h)$
$(6,4,1)$
quindi il piano sarà:
$6x+4y+z+d=0$
per stabilire $d$ imponiamo nuovamente il passaggio per $P$:
$d = - 5$
ed ecco il piano:
$6x+4y+z-5=0$.
Arrendersi? Mai
Và, te lo dedico @m4551
Grazie a tutti quelli che mi hanno aiutato (ed ho annoiato)
bravo!
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