Geometria proiettiva

[kobeilprofeta]

$P^4$
$\lambda_1:{(2(x_1-x_3)+x_2-x_4=0),(x_3-x_5=0):}$
$\lambda:{(x_1+x_2=0),(x_3=0),(x_2+x_4-x_5=0):}$

a)...
b)sia $\lambda_2$ piano t.c. $\lambda_1+lambda_2=P^4$. Esiste iperpiano H (non contenente nè lamda1, nè lambda2) t.c. in $A^4=P^$meno$\H$ le tracce di lamda1 e lambda2 sono parallele?
c)sia H in P4. $H: x_3+x_5=0$; in $P_4$meno$H$ le tracce di $\lambda$ e $\lambda_1$ sono parallele?

non so proprio come impostare il b ed il c.
Ad esempio per trovare le tracce affini io dividerei le equazioni per $x_4$, ma mi sa che cosí troverei le tracce su $P^4$meno${x_4=0}$, mentre il testo mi dà altri iperpiani (non $x_4=0$).

grazie

[j18eos]

Ragiona con lo spazio direttore di \(\displaystyle\lambda_1\) in \(\displaystyle\mathbb{A}^5\).

[kobeilprofeta]

cioè? non capisco...

[j18eos]

Scusa: ma lo spazio proiettivo lo definisci come il quoziente di uno spazio vettoriale (meno il vettore nullo) su un campo?

[kobeilprofeta]

in pratica io ragiono così:
sia H iperpiano, l1 ed l2 due sottospazi di Pn.
Allora $l_1 || l_2$ in $A^n=P^n$meno$H$ sse in $P^n$ l'intersezione tra $l_1$ed$l_2$ è contenuta in $H$...
faccio bene a pensarla così?

[j18eos]

Sì, però è un ragionamento molto sottile, e la dimostrazione che c'è dietro non è affatto facile!

Una prof.a mi disse che la dimostrazione del teorema che tu vuoi usare, può tranquillamente essere argomento di una tesi di laurea triennale.