Geometria, passaggio da forma parametrica a forma cartesiana

[fra1991]

Salve, sto studiando geometria e non riesco a capire come si fa a passare da una forma all'altra di una retta nello spazio.

Grazie mille per un eventuale risposta...

[Camillo]

Fai vedere dove ti blocchi, scegli un esercizio e vediamo cosa si può fare . Un'occhiata al libro, no ?

[fra1991]

Sul libro non trovo niente di specifico...
Per esempio da questa equazione parametrica come trovo quella cartesiana?
k :
x = 1 + t
y = 2 - t
z = 3 + 2t;
devo esplicitare la t e sostituirla prima in una equazione e poi nell'altra?
per esempio
k :
y= 2 - x + 1
z = 3 + 2x -2
oppure c'è un modo per passare da cartesiana a parametrica per esempio con le due rette qui sotto( invece questo non so neanche come iniziarlo)
r:
x - y + z = 0
y + 3z = 0;

r0 :

x + y - 1 = 0
y + 3z - 2 = 0;

[Camillo]

retta k )
$ x= 1+t $
$y=2-t$
$z=3+2t $

Per inciso si tratta di una retta di punto iniziale $P (1,2,3) $ [corrispondente a $t=0 $ ] e di parametri direttori $(1,-1,2) $ ok ?
Veniamo al punto - conversione da forma parametrica dell'equazione della retta a forma cartesiana ( come intersezione di due piani ).
Dalle tre equazioni ricavo $t $ ottenendo:
$x-1=t ; 2-y=t ; (z-3)/2 =t $
Ora eguaglio i valori di $ t $ così ottenuti scegliendo la prime e la seconda e la seconda e la terza equazione
$ x-1 = 2-y $ da cui $ x+y-3=0 $

e

$ 2-y=(z-3)/2 $ da cui $2y+z-7=0 $

L'equazione cartesiana della retta k ) è dunque data dal sistema dei due piani :

$ x+y-3=0$
$2y+z-7=0 $
Naturalmente potevo accoppiare la rpima e la seconda e poi la prima e la terza equazio

[Camillo]

Per il passaggio inverso, da cartesiana a parametrica considera la retta r) data da

$x-y+z=0$
$y+3z=0 $

Poni ad es. $x=t $ e determina $y,z $ in funzione di $t $.
Otterrai
$-y+z=-t$ da cui $ z=y-t$
$ y+3(y-t)=0 $ da cui $y=3t/4$
e infine $z= -1/4 t $
In conclusione la forma parametrica della retta è data dal sistema

$x=t$
$y= 3t/4$
$z=-1/4*t $

[fra1991]

grazie mille sei stato chiarissimo...