Geometria nello spazio, piano contenente due rette

[Imperio1]

ciao ragazzi vorrei un chiarimento su un punto di questo esercizo:

a)Stabilire la posizione reciproca del piano $pi :-X -2Z - 1/2 = 0$ con il piano $pi' : x - 2y + 3z = -1$ e, in seguito, di $pi$ con la retta $r : { 2x +3z = -1; -2x+1/2y-3z=-1/3}$

considerando i sistemi associati a queste equazioni ho ricavato che i piani $pi$ e $pi'$ sono incidenti, lo stesso vale per piano e rette e che l'intersezione tra $pi$ e $r$ è $A=(-1/2,-8/3,0).$

b) Determinare il piano parallelo a $pi$ passante per il punto $P=(0; 1/2;-1/3)$ ed il piano per $r$ e per $pi$ intersezione $pi'$ se esiste (motivare).

per il piano parallelo a $pi$ sfrutto il fascio proprio di piani e impongo il passaggio per il punto P
ma per il piano contenete quelle due rette? avevo pensato al fascio proprio di piani avente come asse la retta originata dall'intersezione tra $pi$ e $pi'$ per poi imporre il passaggio per il punto A. è corretto oppure questo piano non esiste? grazie in anticipo per la vostra eventuale spiegazione

[vict85]

Beh il piano esiste se quattro punti (due per ogni retta) qualsiasi su quelle due rette sono complanari.

I vettori direzione delle due rette sono o paralleli (e in questo caso il piano esiste sempre) oppure generano uno spazio vettoriale di dimensione 2. In quest'ultimo caso se il piano esiste (e ci troviamo su uno spazio euclideo) le due rette si devono incontrare in un punto. Quel punto e il prodotto vettoriale dei due punti ti fornisce il piano.

P.S: Il punto in cui le due rette si incontrano deve appartenere nello stesso tempo ai due piani e alla retta $r$. Siccome hai trovato il punti di intersezione tra retta e piano devi solo vedere se quel punto è anche nell'altro. I vettori direzione in questo caso non possono essere paralleli (altrimenti retta e piano avrebbero posizioni reciproche diverse).