Geometria nello spazio

[Pinturicchio10]

Ciao a tutti. Vorrei sottoporvi il seguente problema di geometria nella speranza che possiate aiutarmi.
Sono date le due rette r e r' di equazioni rispettivamente:

r: $ 3x-2y+1=0 $ $ z+1=0 $

r': $ x-y = 0 $ $ 2x-z+2 = 0 $

Trovare la retta s che sia incidente ed ortogonale ad entrambe le rette date.

Io, dopo aver constatato che le due rette sono sghembe, ho cercato di trovare la retta in questione, ma dati i numeri trovati ho la sensazione di aver sbagliato. Per questo mi affido a voi. Poi una domanda teorica: in tal caso la retta cercata è univocamente determinata. Nel caso in cui r e r' fossero state parallele, ne sarebbero esistite infinite? E se erano incidenti?

[kobeilprofeta]

In r poni $y=\alpha$ e trovi ${(x=2/3\alpha-1/3),(y=\alpha),(z=-1):}$
In r' poni $x=\beta$ e trovi ${(x=\beta),(y=\beta),(z=2\beta+2):}$

Quindi ora puoi scrivere r e r' in forma parametrica:
$r:((x),(y),(z))=((-1/3),(0),(-1))+\alpha((2),(3),(0))$
$r':((x),(y),(z))=((0),(0),(2))+\beta((1),(1),(2))$

Ora la retta $s$ dovrà avere una direzione $(a,b,c)$ perpendicolare ad entrambe. Deve quindi valere:
${(a*2+b*3+c*0=0),(a*1+b*1+c*2=0):}$ da cui ${(b=-2/3a),(c=-1/6a):}$
Quindi la direzione della retta $s$ sarà $((1),(-2/3),(-1/6))$, cioè $((6),(-4),(-1))$.

[anonymous_0b37e9]

Visto che ho ricavato il sistema finale, anche per confrontare i risultati, posto un procedimento simile a quello di kobeilprofeta. La retta è l'intersezione dei seguenti due piani:

$\{(x+3/2y+a_1=0),(x+y+2z+a_2=0):}$

Infatti:

$\{(3x-2y+1=0),(z+1=0):} rarr \{(x=t_1),(y=3/2t_1+1/2),(z=-1):} rarr [vec(d_1)=veci+3/2vecj] rarr [x+3/2y+a_1=0]$

$\{(x-y=0),(2x-z+2=0):} rarr \{(x=t_2),(y=t_2),(z=2t_2+2):} rarr [vec(d_2)=veci+vecj+2veck] rarr [x+y+2z+a_2=0]$

Inoltre:

$\{(x+3/2y+a_1=0),(x+y+2z+a_2=0):} rarr \{(x=t_3),(y=-2/3t_3-2/3a_1),(z=-1/6t_3+1/3a_1-1/2a_2):}$

Essa interseca la prima retta se:

$\{(t_1=t_3),(3/2t_1+1/2=-2/3t_3-2/3a_1),(-1=-1/6t_3+1/3a_1-1/2a_2):} rarr \{(-4/13a_1-3/13=2a_1-3a_2+6),(t_1=-4/13a_1-3/13),(t_3=2a_1-3a_2+6):}$

e la seconda se:

$\{(t_2=t_3),(t_2=-2/3t_3-2/3a_1),(2t_2+2=-1/6t_3+1/3a_1-1/2a_2):} rarr \{(2/13a_1-3/13a_2-12/13=-2/5a_1),(t_3=-2/5a_1),(t_2=2/13a_1-3/13a_2-12/13):}$

Per concludere, è necessario risolvere il seguente sistema:

$\{(-4/13a_1-3/13=2a_1-3a_2+6),(2/13a_1-3/13a_2-12/13=-2/5a_1):} rarr \{(10a_1-13a_2+27=0),(12a_1-5a_2-20=0):}$