Geometria: Lo spazio.
Sia r la retta passante per P (1, 0, 2) e Q (-2, 1, 1) e sia y (gamma) il piano per l'origine di giacitura (u, v) con u = (1, -1, 1) e v = (2, 1, 1). Detto T il loro punto di intersezione,si determinino:
- l'equazione della retta per T parallela ad r
- l'equazione del piano per T ortogonale ad r
- l'equazione della retta per T parallela ad r
- l'equazione del piano per T ortogonale ad r
Risposte
Già...nn ho fatto la domanda!
Ecco,volevo sapere almeno x ora come si fa l'equazione x una retta per due punti nello spazio.Nel piano so come si fa,ma nello spazio?
Ecco,volevo sapere almeno x ora come si fa l'equazione x una retta per due punti nello spazio.Nel piano so come si fa,ma nello spazio?
Il modo piu' intuitivo, secondo me, e' scrivere un vettore che genera la retta (avendo due punti e' facile) e poi scrivere le equazioni parametriche della retta.
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca77
http://www.llussardi.it
Quindi posso fare un vettore del tipo (X - Xo) + (Y - Yo) + (Z - Zo) = lt + mt + nt?
E poi tramite questa mi trovo la parametrica
[X = Xo + lt
[Y = Yo + mt
[Z = Zo + nt
E come accadeva per il piano trovo una cosa tipo...
X - Xo Y - Yo Z - Zo
-------- = --------- = --------
l m n
Giusto?
E poi tramite questa mi trovo la parametrica
[X = Xo + lt
[Y = Yo + mt
[Z = Zo + nt
E come accadeva per il piano trovo una cosa tipo...
X - Xo Y - Yo Z - Zo
-------- = --------- = --------
l m n
Giusto?
Io l'ho risolto cosi' (per problemi di rappresentazione
su video di figure tridimensionali).
Dati 2 punti, P(x1,x1,z1) e P(x2,y2,z2)si vuole determinare
l'equazione della retta passante, cioe' che li contiene.
Privilegiando l'asse x (assunta x come ariabile indipendente, si
considerano le proiezioni della retta sul piano xy (orizzontale)
e sul piano xz (verticale).
La proiezione orizzontale e' una retta in cui la relazione fra
ogni punto y ed il corrispondente x deve valere:
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1), cioe' y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)
Quindi y=a*x+b ( con a=(y2-y1)/(x2-x1) e b=y1-a*x1 ).
Con lo stesso procedimento per la proiezione verticale, si
ricava z=c*x+d ( con c=(z2-z1)/(x2-x1) e d=z1-c*x1 ).
In definitiva, determinate le 4 costanti a,b,c,d, si possono
ricavare i valori di y e z corrispondenti a qualsiasi valore
di x, prefissabile a piacere.
Spero che questo risponda alla domanda.
Se poi sei interessato alla rappresentazione 'spaziale'
sullo schermo video, fammelo sapere.
su video di figure tridimensionali).
Dati 2 punti, P(x1,x1,z1) e P(x2,y2,z2)si vuole determinare
l'equazione della retta passante, cioe' che li contiene.
Privilegiando l'asse x (assunta x come ariabile indipendente, si
considerano le proiezioni della retta sul piano xy (orizzontale)
e sul piano xz (verticale).
La proiezione orizzontale e' una retta in cui la relazione fra
ogni punto y ed il corrispondente x deve valere:
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1), cioe' y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)
Quindi y=a*x+b ( con a=(y2-y1)/(x2-x1) e b=y1-a*x1 ).
Con lo stesso procedimento per la proiezione verticale, si
ricava z=c*x+d ( con c=(z2-z1)/(x2-x1) e d=z1-c*x1 ).
In definitiva, determinate le 4 costanti a,b,c,d, si possono
ricavare i valori di y e z corrispondenti a qualsiasi valore
di x, prefissabile a piacere.
Spero che questo risponda alla domanda.
Se poi sei interessato alla rappresentazione 'spaziale'
sullo schermo video, fammelo sapere.
Ok grazie ad entrambi... il disegno nn mi serve... volevo solo vedere un impostazione del problema.
grazie ancora!
grazie ancora!
Il metodo di g.schgor e' si' corretto ma, e mi dovra' perdonare l'autore, poco intuitvo e molto lungo. La definzione di retta come insieme di vettori multipli di un vettore fissato, opportunamente traslati, mi sembra che porti direttamente al metodo risolutivo gia' illustrato: trovo il vettore della retta e scrivo subito le equazioni parametriche.
Cio' non toglie, comunque, come gia' detto, la correttezza della soluzione alternativa.
Luca77
http://www.llussardi.it
Cio' non toglie, comunque, come gia' detto, la correttezza della soluzione alternativa.
Luca77
http://www.llussardi.it
Allora:
l'equazione parametrica di r mi viene così:
[x = 1 - 3t
[y = t
[z = 2 - t
l'equazione parametrica di r mi viene così:
[x = 1 - 3t
[y = t
[z = 2 - t
ok.
Ora...devo trovare il piano gamma per l'origine di giacitura u v con u = 1 -1 1 e v = 2 1 1 .
Gli appunti ke ho sono:
1) PIANO PER UN PUNTO PERPENDICOLARE AD UN VETTORE
Po ( Xo ; Yo ; Zo)
n (a I + b J + c K)
n è ortogonalle a y (gamma)
P ( X ; Y ; Z) appartiene al piano se e solo se (P - Po) x n = 0
P - Po = (X - Xo) I + (Y - Yo) J + (Z - Zo) K
P - Po = a(X - Xo) + b(Y - Yo) + c(Z - Zo)
Equazione Cartesiana: aX + bY + cZ + d = 0
2) PIANO PER UN PUNTO PARALLELO A DUE VETTORI
Po ( Xo ; Yo ; Zo)
w, w' paralleli a y (gamma)
I vettori (P - Po), w, w' sono complanari
(P - Po) (prod scal) w (prod vett) w' = 0
w (prod vett) w' = n ( vett ortognonale)
w = l I + m J + n K
w'= l'I + m'J + n'K
con una matrice si arriva a
(X - Xo) [(mn')-(nm')] + (Y - Yo) [(ln')-(nl')] + (Z - Zo) [(lm')-(ml')] = 0
a = [(mn')-(nm')]
b = [(ln')-(nl')]
c = [(lm')-(ml')]
quindi...
Equazione cartesiana: aX + bY + cZ + d = 0
oppure un altro modo x esprimere la complanarità dei vettori è scrivere il vettore (P - Po) come combinazione lineare di w e w'
P - Po = u w + v w'
[ X = Xo + ul + vl'
[ Y = Yo + um + vm'
[ Z = Zo + un + vn'
Ora,che faccio di tutte queste formule? ne ho una adatta a cio ke mi seve?
Gli appunti ke ho sono:
1) PIANO PER UN PUNTO PERPENDICOLARE AD UN VETTORE
Po ( Xo ; Yo ; Zo)
n (a I + b J + c K)
n è ortogonalle a y (gamma)
P ( X ; Y ; Z) appartiene al piano se e solo se (P - Po) x n = 0
P - Po = (X - Xo) I + (Y - Yo) J + (Z - Zo) K
P - Po = a(X - Xo) + b(Y - Yo) + c(Z - Zo)
Equazione Cartesiana: aX + bY + cZ + d = 0
2) PIANO PER UN PUNTO PARALLELO A DUE VETTORI
Po ( Xo ; Yo ; Zo)
w, w' paralleli a y (gamma)
I vettori (P - Po), w, w' sono complanari
(P - Po) (prod scal) w (prod vett) w' = 0
w (prod vett) w' = n ( vett ortognonale)
w = l I + m J + n K
w'= l'I + m'J + n'K
con una matrice si arriva a
(X - Xo) [(mn')-(nm')] + (Y - Yo) [(ln')-(nl')] + (Z - Zo) [(lm')-(ml')] = 0
a = [(mn')-(nm')]
b = [(ln')-(nl')]
c = [(lm')-(ml')]
quindi...
Equazione cartesiana: aX + bY + cZ + d = 0
oppure un altro modo x esprimere la complanarità dei vettori è scrivere il vettore (P - Po) come combinazione lineare di w e w'
P - Po = u w + v w'
[ X = Xo + ul + vl'
[ Y = Yo + um + vm'
[ Z = Zo + un + vn'
Ora,che faccio di tutte queste formule? ne ho una adatta a cio ke mi seve?
Riguardo al tuo primo post, la prima richiesta non ha senso; T appartiene ad r, quindi che senso ha chiedere la retta per T parallela ad r?
Per la seconda richiesta, io troverei due vettori indipendenti ortogonali al vettore di r (facile, imposti il prodotto scalare uguale a 0). Poi scrivi le equazioni parametriche del piano per T generato da quei due vettori.
Luca77
http://www.llussardi.it
Per la seconda richiesta, io troverei due vettori indipendenti ortogonali al vettore di r (facile, imposti il prodotto scalare uguale a 0). Poi scrivi le equazioni parametriche del piano per T generato da quei due vettori.
Luca77
http://www.llussardi.it
va bene. grazie ancora.
Torno alle considerazioni di ieri di Luca (che apprezzo e stimo moltissimo)
Luca ha ragione quando dice che la soluzione con vettori e matrici e' la piu'
'corretta'. Dal punto di vista matematico, concettuale e formale lo e' certamente.
Anche se forse non c'entra con la richesta dell'amico minniepippo, permettetemi
pero' di fare notare che non e' detto che sia la piu' 'pratica' quando si tratta
di applicazioni concrete.
Sara' la mia deformazione professionale di progettista di automatismi, ma io
ritengo veramente risolto un problema quando riesco a trovare una procedura
'computabile' da un calcolatore (cioe' basata sulle 4 operazioni).
(Nella programmazione di un microprocessore per movimento lineare di un braccio
robotico, spesso anche l'utilizzo di funzioni trigonometriche e' un lusso non
concesso)
Morale: Ragazzi, non disprezzate le soluzioni 'semplici' (specie se fate Ingegneria)!
Luca ha ragione quando dice che la soluzione con vettori e matrici e' la piu'
'corretta'. Dal punto di vista matematico, concettuale e formale lo e' certamente.
Anche se forse non c'entra con la richesta dell'amico minniepippo, permettetemi
pero' di fare notare che non e' detto che sia la piu' 'pratica' quando si tratta
di applicazioni concrete.
Sara' la mia deformazione professionale di progettista di automatismi, ma io
ritengo veramente risolto un problema quando riesco a trovare una procedura
'computabile' da un calcolatore (cioe' basata sulle 4 operazioni).
(Nella programmazione di un microprocessore per movimento lineare di un braccio
robotico, spesso anche l'utilizzo di funzioni trigonometriche e' un lusso non
concesso)
Morale: Ragazzi, non disprezzate le soluzioni 'semplici' (specie se fate Ingegneria)!
Ripensandoci, ho trovato un punto notevole pero' nella soluzione di g.schgor: la riduzione del problema dalla dimensione 3 alla dimensione 2. E' una cosa interessante, e su cui meditare, secondo me.
Luca77
http://www.llussardi.it
Luca77
http://www.llussardi.it
Ehi Ehi! Calma!!!!
Allora...ora dovete solo dirmi se quello ke sto facendo è giusto.
Dato P (2, 0, 3) si determinino:
1) La retta per P ortogonale al piano per i tre punti S (0, 0, 2) U (4, 2, 0) W (1, 1, -3)
2) La retta per P parallela alla retta s data dall'intersezione di (x - y - 2z - 1 = 0) e (x + 3y + z -2 = 0)
3) Il piano per P di giacitura con u = 2i - j - k e v = i + j
1) Allora ... innanzitutto ho trovato i due vettori
a (U - S) = 4i - 2j - 2k
a' (W - S) = i + j - 5k
poi prendo S come punto passante per il piano e a con a' i vettori paralleli al piano:
x(10+2) - y(-20+2) + (z-2)(4+2) = 0
12x + 18y + 6z - 12 = 0
2x + 3y + z - 2 = 0
ora trovo la retta per p ortogonale al piano:
il piano ha componenti (2, 3, 1)
un piano ipoteticamente ortogonale deve avere componenti : (3, 1, 2)
P ha componenti (2, 0, 3)
[ x = 2 + 3t
[ y = t
[ z = 3 + 2t
in forma parametrica oppure
[x - 3y - 2 = 0
[2y - z + 3 = 0
come intersezione di piani...
Ora,ho fatto una scemenza? (x ora è solo il primo punto)
Allora...ora dovete solo dirmi se quello ke sto facendo è giusto.
Dato P (2, 0, 3) si determinino:
1) La retta per P ortogonale al piano per i tre punti S (0, 0, 2) U (4, 2, 0) W (1, 1, -3)
2) La retta per P parallela alla retta s data dall'intersezione di (x - y - 2z - 1 = 0) e (x + 3y + z -2 = 0)
3) Il piano per P di giacitura con u = 2i - j - k e v = i + j
1) Allora ... innanzitutto ho trovato i due vettori
a (U - S) = 4i - 2j - 2k
a' (W - S) = i + j - 5k
poi prendo S come punto passante per il piano e a con a' i vettori paralleli al piano:
x(10+2) - y(-20+2) + (z-2)(4+2) = 0
12x + 18y + 6z - 12 = 0
2x + 3y + z - 2 = 0
ora trovo la retta per p ortogonale al piano:
il piano ha componenti (2, 3, 1)
un piano ipoteticamente ortogonale deve avere componenti : (3, 1, 2)
P ha componenti (2, 0, 3)
[ x = 2 + 3t
[ y = t
[ z = 3 + 2t
in forma parametrica oppure
[x - 3y - 2 = 0
[2y - z + 3 = 0
come intersezione di piani...
Ora,ho fatto una scemenza? (x ora è solo il primo punto)
2) ora faccio la retta per P parallela ad s
retta s
[ x - y + 2z - 1 = 0
[ x + 3y + z - 2 = 0
fascio rette parallele ad s
[ x - y + 2z + k = 0 con k appartenente ai reali
[ x + 3y + z + h = 0 con h appartenente ai reali
sostituisco x y z con le coordinate di P
[ 1(2) - 1(0) + 2(3) + k = 0
[ 1(2) + 3(0) + 1(3) + h = 0
quindi risolvendo....
k = -8
h = -5
la retta per P parallela ad s
[ x - y + 2z - 8 = 0
[ x + 3y + z - 5 = 0
Giusto?
retta s
[ x - y + 2z - 1 = 0
[ x + 3y + z - 2 = 0
fascio rette parallele ad s
[ x - y + 2z + k = 0 con k appartenente ai reali
[ x + 3y + z + h = 0 con h appartenente ai reali
sostituisco x y z con le coordinate di P
[ 1(2) - 1(0) + 2(3) + k = 0
[ 1(2) + 3(0) + 1(3) + h = 0
quindi risolvendo....
k = -8
h = -5
la retta per P parallela ad s
[ x - y + 2z - 8 = 0
[ x + 3y + z - 5 = 0
Giusto?
3)
per trovare il terzo punto faccio lo stesso ke ho fatto per il primo ma ho già i due vettori paralleli.
(x-2)(-1) - y(-1) + (z-3)(2+3) = 0
-x + 2 + y + 3z -9 = 0
x + y +3z - 7 = 0
Ok! Il problema sembra risolto.
Se c'è qualke errore...
CORREGGETEMI!!
per trovare il terzo punto faccio lo stesso ke ho fatto per il primo ma ho già i due vettori paralleli.
(x-2)(-1) - y(-1) + (z-3)(2+3) = 0
-x + 2 + y + 3z -9 = 0
x + y +3z - 7 = 0
Ok! Il problema sembra risolto.
Se c'è qualke errore...
CORREGGETEMI!!
UP!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo